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Exercicios de Matematica 12 ANO - Teorema de Bolzano - Exercício 1

Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio \left[ { - a,a} \right].

Sabe-se que f\left( { - a} \right) = f\left( a \right) e f\left( a \right) > 0.

Mostre que a condição f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right) tem, pelo menos, uma solução em \left] { - a,0} \right[.

 

Resolução do exercício de matemática:

Considere-se a função g, definida por g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + a} \right).

Tem-se que: g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( {x + a} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right)

   A função g é contínua em \left[ { - a,0} \right] porque é a diferença de duas funções contínuas nesse intervalo.

   g\left( { - a} \right) = f\left( { - a} \right) - f\left( 0 \right) = f\left( a \right) - f\left( 0 \right)

   g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( a \right) =  - f\left( a \right) + f\left( 0 \right) =  - \left[ {f\left( a \right) - f\left( 0 \right)} \right]

Tem-se que:

 f\left( a \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) - f\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - a} \right) > 0

g\left( 0 \right) =  - \left[ {f\left( a \right) - f\left( 0 \right)} \right] < 0

Logo, g\left( { - a} \right) \times g\left( 0 \right) < 0.

Como g é contínua em \left[ { - a,0} \right] e g\left( { - a} \right) \times g\left( 0 \right) < 0, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um zero da função no intervalo \left] { - a,0} \right[.

Logo, a condição f\left( x \right) = f\left( {x + a} \right) tem, pelo menos, uma solução em \left] { - a,0} \right[.