Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 14

Na Figura 3, está representado um dado cúbico, não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 3, em que faces opostas têm o mesmo número.

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Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face que fica voltada para cima.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

   A: «sair número ímpar»

   B: «sair número menor que 3»

Sabe-se que:

  • P\left( {\overline A  \cup \overline B } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9}
  • P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{7}

 Determine a probabilidade de sair o número 3.

 

Resolução do exercício de matemática:

\overline B :   «sair número menor que 3»

P\left( {\overline A  \cup \overline B } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow P\left( {\overline {A \cap B} } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 1 - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow 1 - 2P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 1 - \frac{5}{9} = 2P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow \frac{4}{9} = 2P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{9} = P\left( {A \cap B} \right)

P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{{\frac{2}{9}}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{{\frac{2}{9}}}{{\frac{2}{7}}} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{{14}}{{18}} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{7}{9}

A = \left\{ {1,3} \right\}   ;   B = \left\{ {1,2} \right\}   ;   A \cap B = \left\{ 1 \right\}   ;    \overline B  = \left\{ 3 \right\}

Como os acontecimentos  A \cap B  e  \overline B são incompatíveis, tem-se que:

P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{7}{9} - \frac{2}{9} \Leftrightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{5}{9}

Logo, a probabilidade de sair o número 3 é igual a \frac{5}{9}.


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