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Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 4

Matemática Probabilidades

12º Ano - Exercício 4

Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo as 4 primeiras azuis e as seis últimas vermelhas.

Retiram-se, sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa.

1. Determine a probabilidade de sairem duas bolas azuis.

2. Determine a probabilidade de sairem duas bolas de cor diferente.

Solução do Exercício:

$p = \frac{4}{{10}} \times \frac{3}{9} = \frac{{12}}{{90}} = \frac{2}{{15}}$

$p = \frac{4}{{10}} \times \frac{6}{9} \times 2 = \frac{{48}}{{90}} = \frac{8}{{15}}$

Atividades Relacionadas

Funções trigonométricas 11º Ano

Redução ao Primeiro Quadrante

Observa a seguinte Figura:

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img01

Os triângulos $\left[ {OAD} \right]{\text{ e }}\left[ {OBF} \right]$ são congruentes (geometricamente iguais).

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Exercícios de Matemática

Estudo de uma função quanto à monotonia e existência de extremos relativos

Exercício 3

Considere a função , definida por:

$f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 4$

Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

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Exercícios de Matemática

Exercícios de Matemática 11º Sucessões

Exercício 1

Considere a sucessão $({u_n})$ de termo geral

${u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}$

Calcule o 4º termo da sucessão
Averigue se 1,9 é termo da sucessão

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Funções trigonométricas

Estudo da Função Tangente

Considera a função real de variável real , definida por $f(x) = tg{\text{ }}x$ .

1. Indica o dominio de .

2. Esboça o gráfico de .

3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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Exercícios de Matemática

Equação de uma Reta Tangente ao Gráfico

Exercício 1

Considere a função , definida por

$f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1$

Escreva uma equação de uma reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa:

a. 2

b. 1

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Funções trigonométricas

Estudo da Função cosseno

Considera a função real de variável real , definida por $f(x) = cos{\text{ }}x$ .

1. Indica o dominio de .

2. Esboça o gráfico de .

3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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Exercícios de Matemática

Taxa de Variação média

Exercício 1

Considere a função , definida por $f(x) = {x^2} - 3x + 4$ .

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

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Funções trigonométricas

Estudo da Função seno

Considera a função real de variável real , definida por $f(x) = sen{\text{ }}x$ .

1. Indica o dominio de .

2. Esboça o gráfico de .

3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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1. Considere ${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}$ e ${z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}$ .

Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que ${\left( {{z_2}} \right)^n}$ é um número real negativo.

2. Seja $\alpha \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[$ .

Mostre que $\frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right)$ .

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Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere ${z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3}$ e ${z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}$ .

1. Resolva a equação ${z^3} + {z_1} = {z_2}$ , sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

2. Seja um número complexo não nulo.
Mostre que, se e $\frac{1}{w}$ são raízes de índice de um mesmo número complexo , então z = 1 ou z = - 1 .

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Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere ${z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}$ e ${z_2} = 1 + i$ .

1. Sabe-se que $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ é uma raiz quarta de um certo número complexo .

Determine na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

2. Seja ${z_3} = \operatorname{cis} \alpha$ .

Determine o valor de $\alpha$ pertencente ao intervalo $\left] { - 2\pi , - \pi } \right[$ , sabendo que ${z_3} + \overline {{z_2}}$ é um número real.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 7

Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo $\sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$ .

Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 6

Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexos que satisfazem as condições:

1. $1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge 2$

2. $\left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1$

3. $0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2$

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 5

Considere o número $z = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ .

Determine o menor número natural de modo que ${z^n}$ seja :

a) Um número real;

b) Um número imaginário puro.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 4

Considere os números r = 4 + 2i e $w = 2{\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ .

a) Represente na forma algébrica o complexo $t = \frac{r}{w}$ .

b) Resolva, em $\mathbb{C}$ , a equação $i{z^4} = w$ .

c) Sabe-se que é uma das raízes cúbicas de um complexo , determine as outras raízes cúbicas de .

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 3

Considere os números complexos: z = - 2i , $w = 1 + \frac{1}{i}$ , $t = - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)$ .