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Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 4

Matemática Probabilidades

12º Ano - Exercício 4

  

Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo as 4 primeiras azuis e as seis últimas vermelhas.


Retiram-se, sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa.

 

1. Determine a probabilidade de sairem duas bolas azuis.

 

2. Determine a probabilidade de sairem duas bolas de cor diferente.

 

 

Solução do Exercício:

 

1.

p = \frac{4}{{10}} \times \frac{3}{9} = \frac{{12}}{{90}} = \frac{2}{{15}}

 

2.

p = \frac{4}{{10}} \times \frac{6}{9} \times 2 = \frac{{48}}{{90}} = \frac{8}{{15}}


Exercícios de Matemática

Estudo de uma função quanto à monotonia e existência de extremos relativos

Exercício 3

Considere a função f , definida por:

f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 4

Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

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Na edição de 2010 da feira anual, a organização do jogo Roda da Fortuna limitou o número total de inscrições no jogo. Estipulou que, em cada dia de feira, haveria, no máximo, mais 8 inscrições do que no dia anterior.
No final da feira desse ano, a organização revelou que, no primeiro dia, houve 6 inscrições no jogo Roda da Fortuna e que, nos restantes dias, se esgotou o número de inscrições estipulado para cada um dos dias.

1.  Determine o número de inscrições feitas no décimo dia da feira anual de 2010.

2.  Admita que, nos dois últimos dias da feira anual de 2010, houve um total de 340 inscrições na Roda da Fortuna.

Determine o número de dias que durou a feira anual de 2010.

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A Jalur é uma empresa que produz, artesanalmente, janelas de estilo antigo para o mercado de uma certa região. O gestor da Jalur sabe que a empresa consegue vender, nesse mercado, todas as janelas que produzir.

As janelas de estilo antigo produzidas pela Jalur são de dois tipos: Tipo I e Tipo II.
Sabe-se que:

- para produzir uma janela do Tipo I, são necessárias uma hora na secção de corte, três horas na secção de polimento e duas horas na secção de acabamentos;

- para produzir uma janela do Tipo II, são necessárias uma hora na secção de corte, duas horas na secção de polimento e uma hora na secção de acabamentos;


- as secções de produção da Jalur têm, semanalmente, a seguinte disponibilidade:

• secção de corte: 16 horas;
• secção de polimento: 36 horas;
• secção de acabamentos: 22 horas.

O lucro que a Jalur obtém ao vender uma janela do Tipo I é 30 euros, e o que obtém ao vender uma janela do Tipo II é 25 euros.
Designe por o número de janelas do Tipo I produzidas, semanalmente, pela Jalur, e designe por y o número de janelas do Tipo II produzidas, semanalmente, pela Jalur.

 

2.1.    É possível a Jalur produzir um total de 15 janelas de estilo antigo, numa semana?

   Justifique a sua resposta.

 

2.2.    Determine, quantas janelas do Tipo I e quantas janelas do Tipo II deve a Jalur produzir, semanalmente, para,

           nas condições referidas, obter lucro máximo.

   Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• indicar a função objetivo;
• indicar as restrições do problema;
• representar, graficamente, a região admissível referente ao sistema de restrições;
• calcular o número de janelas do Tipo I e o número de janelas do Tipo II que a Jalur deve produzir, semanalmente, correspondentes à solução do problema.

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Considere a função , de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}, definida por f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}.

1.1. Determine o conjunto solução da f\left( x \right) < 3.

1.2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de f.

1.3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

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Exercícios de Matemática

Equação de uma Reta Tangente ao Gráfico

Exercício 1

 

Considere a função f , definida por

f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1

Escreva uma equação de uma reta tangente ao gráficof  de no ponto de abcissa:

a. 2

b. 1

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Considere a sucessão ({u_n}) de termo geral

{u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}

1.1.    Calcule o 4º termo da sucessão

1.2.    Averigue se 1,9 é termo da sucessão

 

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A Figura 2 representa parte da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico com as previsões das alturas de maré, no porto de Leixões, para os sete primeiros dias do mês de julho de 2010.

exame b g2 exercicio1 01

Os valores das alturas estão em metros e o tempo é indicado em horas e minutos de cada dia.

Com base nos dados da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico, o Rui obteve, por regressão sinusoidal, a seguinte expressão, que relaciona a altura de maré, M, em metros, no porto de Leixões, com o tempo, t, em horas, contado a partir das zero horas do dia 1 de julho de 2010:


M\left( t \right) = 2 + 1,02\operatorname{sen} \left( {0,50t - 1,44} \right)  para t \geqslant 0


O argumento da função seno está em radianos.

 

1.1.    Descreva, com base na expressão obtida pelo Rui, a previsão da variação da altura de maré durante o primeiro dia de

         julho de 2010, indicando os instantes entre os quais a  maré subiria e os instantes entre os quais a maré desceria.

 Apresente os valores em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

 Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados às centésimas.

 

1.2.   Determine a diferença entre a altura de maré prevista pelo Instituto Hidrográfico para as 18 horas e 36 minutos do

         dia 2 de julho de 2010 e a altura de maré, para o mesmo instante, dada pela expressão obtida pelo Rui.

  Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

   Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve pelo menos três casas decimais.

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Exercícios de Matemática

Taxa de Variação média

Exercício 1

 

Considere a função , definida por f(x) = {x^2} - 3x + 4.

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

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Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.

 

12.1.     Seja n um número natural.

    Determine \frac{{\sqrt 3  \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}, sem recorrer à calculadora.

      Apresente o resultado na forma trigonométrica.

 

12.2.     Seja \alpha  \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[ .

    Sejam {z_1} e {z_2} dois números complexos tais que {z_1} = \operatorname{cis} \alpha e {z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right).

      Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de  {z_1} + {z_2}, no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

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Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.


11.1.   Considere  {z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}  e  {z_2} = \operatorname{cis} \alpha , com \alpha  \in \left[ {0,\pi }                   \right[.

          Determine os valores de \alpha , de modo que {z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2} seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.


11.2.     Seja z um número complexo tal que {\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10 .

            Mostre que \left| z \right| \leqslant 2.

 

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      10.1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.


10.2.   Seja \alpha  \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi  - 2\alpha } \right).

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.


9.1.   Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

 

9.2.   Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

8.1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

8.2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

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Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo \sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right).

 Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

 

 

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Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexos z  que satisfazem as condições:

 

6.1.    1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge  2

 

6.2.    \left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1

 

6.3.    0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2

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Considere o número  z = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right).

Determine o menor número natural  n  de modo que {z^n}  seja  :

 

5.1.   Um número real;

 

5.2.   Um número imaginário puro.

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