Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função \inline f, de domínio \inline \left[ {0, + \infty } \right[, definida por

 

\large f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
 {\frac{{{e^{2 - x}} - 1}}{{x - 2}}}&{{\text{se}}}&{0 \leqslant x < 2} \\ 
 {\frac{{x + 1}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 2} 
\end{array}} \right.

 

Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

 

1.

Estude f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

 

2.

Mostre, sem resolver a equação, que f\left( x \right) =  - 3 tem, pelo menos, uma solução em \left] {0,\frac{1}{2}} \right[.

 

3.

Estude f quanto à monotonia em \left] {2, + \infty } \right[.

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função f, de domínio \left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[, definida por

 

f\left( x \right) = {e^{2x}} + \cos x - 2{x^2}

 

Sabe-se que:


B é um ponto do gráfico def


• a reta de equação f é paralela à reta tangente ao gráficof   de no pontoB

 

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do pontoB  .

Na sua resposta, deve:


• equacionar o problema;


• reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 4

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 3

Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lagoA e o lagoB .
Às zero horas do dia 1 de março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.


{N_A}\left( t \right) é o número aproximado de nenúfares existentes no lagoA ,t dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo:

 

{N_A}\left( t \right) = \frac{{120}}{{1 + 7 \times {e^{ - 0,2t}}}}  , comt \geqslant 0

 

{N_B}\left( t \right) é o número aproximado de nenúfares existentes no lagoB, t dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana  e desenvolvem-se segundo o modelo

 

{N_B}\left( t \right) = \frac{{150}}{{1 + 50 \times {e^{ - 0,4t}}}}  , comt \geqslant 0

 

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

 

1.

Como foi referido, às zero horas do dia 1 de março de 2010, o lagoA recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou.

Determine de quanto foi esse aumento.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

 

2.

Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lagoA fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 3

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 2

A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.

1.

Dos funcionários da MatFinance, sabe-se que:

  • 60%  são licenciados;
  • dos que são licenciados, 80%  têm idade inferior a 40 anos;
  • dos que não são licenciados, 10%  têm idade inferior a 40 anos.

 

Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

 

2.

Considere o problema seguinte.

«Foi pedido a 15 funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.

Desses 15 funcionários, 9 estão a favor do novo horário, 4 estão contra, e os restantes estão indecisos.

Escolhe-se, ao acaso, 3 funcionários de entre os 15 funcionários considerados.

De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os 3 funcionários, de forma que pelo menos 2 dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?»

 

Apresentam-se, em seguida, duas respostas.

Resposta I:{}^{15}{C_3} - {}^6{C_3}                   Resposta II: 6 \times {}^9{C_2} + {}^9{C_3}


Apenas uma das respostas está correta.

 

Elabore uma composição na qual:

  • identifique a resposta correta;
  • explique um raciocínio que conduza à resposta correta;
  • proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta;

explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 2

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja \mathbb{C}  o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

 

1.

Considere{z_1} = 1 + 2i   e  w = \frac{{{z_1} \times {i^{4n + 3}} - b}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)}}  , com b \in \mathbb{R}  e  n \in \mathbb{N}.


Determine o valor deb   para o qualw   é um número real.


2.

Seja z um número complexo tal que \left| z \right| = 1.


Mostre que {\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} = 4.

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 1

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 7

Na Figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:
• o ponto A é a imagem geométrica do número complexo  - \sqrt 3 + i
• o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence À circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a \overline {OA}

 

exame 2011 f2 exercicio7

 

Qual das condições seguintes define, em \mathbb{C}, a região a sombreado, incluindo a fronteira?


(Considere como \arg \left( z \right) a determinação que pertence ao intervalo \left[ {0,2\pi } \right[)

 

(A) \left| z \right| \leqslant 2{\text{  }} \wedge {\text{  }}\frac{{2\pi }}{3} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi

(B) \left| z \right| \leqslant 2{\text{  }} \wedge {\text{  }}\frac{{5\pi }}{6} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi
 
(C) \left| z \right| \leqslant 4{\text{  }} \wedge {\text{  }}\frac{{2\pi }}{3} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi

(D) \left| z \right| \leqslant 4{\text{  }} \wedge {\text{  }}\frac{{5\pi }}{6} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 7

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 6

 

Na Figura 2, está representado, num referencial o. n. xOy  , o círculo trigonométrico.

 

exame 2011 f2 exercicio6

Sabe-se que:


C é o ponto de coordenadas \left( {1,0} \right)


• os pontos D e E pertencem ao eixo Oy


\left[ {AB} \right] é um diâmetro do círculo trigonométrico


• as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox


\theta é a amplitude do ângulo COA


\theta \in \left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[


Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na Figura 2?

 

(A) 2\left( {\cos \theta  + \operatorname{sen} \theta } \right)

(B) \cos \theta  + \operatorname{sen} \theta

(C) \cos \theta  + \operatorname{sen} \theta

(D) 1 + \cos \theta  + \operatorname{sen} \theta


Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 6

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