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Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 5

Considere, num referencial ortonormado do plano, retas r e s definidas por:

r:{\text{  }}\left( {x,y} \right) = \left( {1, - 3} \right) + k\left( {2,3} \right),k \in \mathbb{R}

s:{\text{  }}y = 4x - 1

Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas r e s.

 

 

Resolução do exercício de matemática:

 

  • Escrever a equação reduzida da reta r:

 

m = \frac{3}{2}

 

A equação reduzida da reta é do tipo:  y = \frac{3}{2}x + b.

 

Como P\left( {1, - 3} \right) é um ponto da reta r, tem-se que:

 

 - 3 = \frac{3}{2} \times 1 + b \Leftrightarrow b =  - \frac{9}{2}

 

Logo, a equação reduzida da reta r é:  y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}.

 

  • Coordenadas do ponto de interseção das retas r e s:


\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {y = 4x - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - \frac{9}{2} = 4x - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - 4x = - 1 + \frac{9}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - \frac{8}{2}x = - \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {3x - 8x = - 2 + 9} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ { - 5x = 7} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}\left( { - \frac{7}{5}} \right) - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{21}}{{10}} - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{21}}{{10}} - \frac{{45}}{{10}}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{76}}{{10}}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{38}}{5}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right.

 

Logo, I\left( { - \frac{7}{5}, - \frac{{38}}{5}} \right).


Jogos Educativos:

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Jogo Puzzle de Contas

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Quando se atira uma bola ao ar, com uma velocidadade inicial de 49 m/s, a altura em metros atingida pela bola ao fim de

t   segundos é dada pela expressãoh\left( t \right) = 49t - 4,9{t^2}.

 

1. Fará sentido considerar qualquer valor real para t ?

2. Determine a altura máxima atingida pela bola.

3. Indique o intervalo de tempo durante o qual a bola subiu.


Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Considere a função , de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}, definida por f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}.

1. Determine o conjunto solução da f\left( x \right) < 3.

2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de f.

3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

A intensidade de um som relaciona-se com a amplitude da onda sonora.

Considera-se que o nível sonoro, N, medido em decibéis (dB), é função da intensidade sonora, I, medida em watt por metro quadrado (W/m²), de acordo com a igualdade

N = 120 + 10{\log _{10}}\left( I \right) para I > 0

 

2.1.   A legislação portuguesa estipula que, para veículos motorizados de duas rodas de de cilindrada, o nível sonoro

          desses veículos, quando em funcionamento, não deve exceder o limite máximo de 105 dB.

  Determine o valor da intensidade sonora, em W/m², que corresponde ao limite de 105 dB.

  Apresente o resultado arredondado às centésimas.

 

2.2.   O Rui fez um trabalho escolar em que relacionou a intensidade sonora com o nível sonoro.

  Nesse trabalho, incluiu uma tabela que continha, para diferentes tipos de fontes sonoras, as respetivas intensidades,

  em W/m², e os respetivos níveis sonoros em dB.

  Apresenta-se, a seguir, parte dessa tabela.

exame b g2 exercicio2 02

O texto seguinte é um excerto do trabalho elaborado pelo Rui.

«De acordo com o modelo que relaciona o nível sonoro com a intensidade sonora, podemos concluir que:

I) o nível sonoro de 0 decibéis, que marca o limiar inferior da audição humana, corresponde a uma intensidade de 0,000 000 000 01 W/m²;

II) ao compararmos o nível sonoro provocado pela sirene de um navio, cuja intensidade é cerca de 5 W/m², com os níveis sonoros mais elevados que constam da tabela, verificamos que esse nível sonoro está mais próximo do nível sonoro registado no concerto de música rock do que do nível sonoro registado no funcionamento do avião a jacto;

III) a intensidade sonora do avião a jacto em funcionamento é cerca de 600 vezes superior à intensidade sonora causada pelo tráfego rodoviário que circula numa via rápida.»

As conclusões I), II) e III) formuladas pelo Rui são todas incorretas.

Elabore uma pequena composição na qual, para cada uma das conclusões formuladas pelo Rui, apresente uma razão que fundamente a respetiva incorreção.

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Considere a função h definida por h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x.

Determine:

1. os zeros da função.

2. o vértice e o eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função.

3. dois objetos, distintos dos zeros, que tenham a mesma imagem.

4. os valores x de tais que h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} .

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.

2013-f2-g2-ex7

Sabe-se que:

2013-f2-g2-ex73


3.1.         Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de \alpha , por P\left(\alpha \right).

3.2.         Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa \frac{{5\pi }}{6}, sem utilizar a calculadora.  

 

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  • Observe o gráfico da função g.

 

1. Determine a expressão analítica da função g.

2. Escreva a expressão analítica da função g sem utilizar o símbolo de módulo.

 

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Considere num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio [- 1,2], definida por

2013-f2-g2-ex6

o ponto A de coordenadas \left( {2,0} \right) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f.

Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima.

Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

  • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
  • indicar o valor da área do triângulo [AOP] com arredondamento às centésimas.
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  • Resolva cada uma das seguintes condições:

 

1.  \left| {2x + 7} \right| = 5

 

3.  \left| {1 - x} \right| \ge 2

2.  \left| {1 - x} \right| = \left| {3x - 5} \right|

 

4.  - 2\left| {x + 3} \right| > - 8

 

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Grande Prémio de Frações

Jogo educativo de matemática para o estudo de frações. Usa os teus conhecimentos matemáticos para vencer o Grande Prémio de Frações. Nesta atividade educativa você tem de indicar maior fração de entre as 3 apresentadas. Quanto mais rápido for a responder mais força terá o carro para vence o grande prémio.

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Jogos de Matemática

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 Jogo Tabuada do Dino


Brinca com o Dino no seu mundo mágico e para isso terás de saber a tabuada. Para começar este jogo tens de escolher uma tabuada e responder às questões que te são colocadas. Diverte-te com este jogo educativo para educação infantil em que terás oportunidade de testar os teus conhecimentos de tabuadas de multiplicação, divisão, subtração e adição.

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Poker de Frações

Jogo educativo de matemática com atividades de frações. Usa os teus conhecimentos matemáticos para ganhar no Poker de Frações. Nesta atividade educativa você tem de indicar as frações equivalentes, você pode ter 2 a 5 frações equivalentes. Mostre que é um Poker Star de Frações!

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Teste de Tabuadas

Você estudou bem as tabuadas para passar no teste? Tem de saber bem as tabuadas pois o teste vai ser duro. Não se preocupa se não passar, pode sempre imprimir as tabuadas para completar e estudar mais um pouco. Jogo de matemática com contas. Continhas de somar, subtrair, multiplicar e dividir.

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Tabuadas de Somar

Você é bom com tabuadas de somar? Então tem de experimentar este divertido jogo onde você tem de responder o mais rápido que conseguir às contas de somar apresentadas. Quanto mais rápido resolver as contas de somar melhor classificação terá. Atividades educativas com contas de somar.

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Jogos de Matemática

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Jogo Tabuadas 4º Ano

Jogo de matemática para práticar tabuadas de multiplicar. Escolhe uma tabuada e começa a responder as questões colocadas. Jogo desenvolvido para o 4º ano do ensino fundamental. Também pode ser utilizado por crianças dos anos iniciais.

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Matemática Radical

Faz manobras radicais na neve enquanto praticas matemática. Responde as questões colocadas tão rápido quanto conseguires para passares os obstáculos. Neste jogo de matematica quanto mais rápido responderes, mais pontos vais fazer. Será que estás à altura do desafio? Aprender matemática é super divertido no atividades de matematica!

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Múltiplos da Matemática

No jogo Múltiplos da Matemática você tem de indicar o maior divisor comum ou o menor múltiplo comum entre os dois números apresentados. Neste jogo de matemática educativo para o ensino fundamental você tem a possibilidade de escolher entre jogar um jogo temporizado ou jogar um jogo sem erros, isto é, assim que falhar uma resposta o jogo termina.

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Ataque Matemático

 

Divertido jogo onde tens de travar os ataques de máquinas demolidoras que querem raptar a população. Faz rápido as contas de matemática para salvares a população. Neste jogo educativo tens contas de somar, subtrair, multiplicar e dividir para fazeres, tens também a possibilidade de escolher resolver problemas com frações, equações ou mesmo resolver problemas de álgebra.

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Jogo Vestir a Matemática

A menina tem de fazer as contas de tabuada enquanto se veste para ir para a escola. Vestir a menina enquanto pratica a tabuada para passar no exame final.

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Jogo de Matemática Bubbles

 

Divertido jogo onde tens de destruir as bolas formando pares que somam 10. Ter em atenção que você pode usar uma bola para destruir um grupo das mesmas bolas numeradas.

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Jogo Enigma das Frações

Jogo Enigma das Frações

Tens de ajudar o gnomo a salvar a sua aldeia e libertar todos os habitantes das garras do feiticeiro. Para isso terás de responder aos enigmas do terrível feiticeiro e recuperar a chave que libertará todos os habitante da aldeia!

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Jogos de Matemática

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Jogo Bloquinho Azul

 

Divertido jogo com figuras geométricas da matemática. Você tem de conetar o bloquinho azul com outra figura geométrica também azul. Para isso você terá de remover as outras figuras geométricas, dê um click nos quadrados, retângulos ou círculos para eles desaparecerem. O bloquinho azul não pode tocar no chão. Boa Sorte!

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Jogos de Matemática

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Jogo de Equações 

Neste jogo de matemática, tens como objectivo escolher as placas escondidas que são equivalentes. Para isso terás de recorrer à memória das últimas posições onde estava um número ou expressão equivalente. Para ser mais divertido, os níveis são temporizados e têm um tempo limite bastante curto, pensa rápido e mostra que és o melhor em jogos de matematica, este jogo irá revelar-se um verdadeiro desafio para si. Tens seis níveis que incrementam a dificuldade imposta pelo anterior. Enquanto jogo educativo revela-se valioso para uma consolidação dos conhecimentos do ensino fundamental da matemática.

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