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Sucessões 11º Ano

Sucessões 11º Ano Ensino Médio

 

Exercícios de matemática resolvidos de sucessões 11º Ano ensino médio. Aplica os teus conhecimentos para resolver os exercícios de matemática de sucessões. Calcular termos de uma sucessão. Verificar se um dado valor é termo de uma sucessão. Resolução de exercícios de matemática sobre sucessões.

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Exercício
1 Exercicios de Matematica 11º Sucessões - Exercício 1


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Funções trigonométricas 11º Ano

Redução ao Primeiro Quadrante

Observa a seguinte Figura:

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img01

Os triângulos \left[ {OAD} \right]{\text{ e }}\left[ {OBF} \right] são congruentes (geometricamente iguais).

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Exercícios de Matemática

Estudo de uma função quanto à monotonia e existência de extremos relativos

Exercício 3

Considere a função f , definida por:

f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 4

Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

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Exercícios de Matemática

Exercícios de Matemática 11º Sucessões

Exercício 1

Considere a sucessão ({u_n}) de termo geral

{u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}

  1. Calcule o 4º termo da sucessão
  2. Averigue se 1,9 é termo da sucessão

 

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Funções trigonométricas

Estudo da Função Tangente

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = tg{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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Exercícios de Matemática

Equação de uma Reta Tangente ao Gráfico

Exercício 1

 

Considere a função f , definida por

f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1

Escreva uma equação de uma reta tangente ao gráficof  de no ponto de abcissa:

a. 2

b. 1

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Funções trigonométricas

Estudo da Função cosseno

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = cos{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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Exercícios de Matemática

Taxa de Variação média

Exercício 1

 

Considere a função , definida por f(x) = {x^2} - 3x + 4.

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

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Funções trigonométricas

Estudo da Função seno

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = sen{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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      1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.

2.   Seja \alpha  \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi  - 2\alpha } \right).

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.

1. Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 7

Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo\sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right).

 Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

 

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 6

Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexosz  que satisfazem as condições:

 

1. 1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge  2

 

2. \left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1

 

3. 0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 5

Considere o númeroz = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)     .

Determine o menor número natural  n   de modo que{z^n}    seja  :

 

a)   Um número real;

 

b)   Um número imaginário puro.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 4

Considere os númerosr = 4 + 2i   ew = 2{\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)   .

 

a)   Represente na forma algébrica o complexot = \frac{r}{w}    .

 

b)   Resolva, em\mathbb{C}   , a equação i{z^4} = w    .

 

c)   Sabe-se quew  é uma das raízes cúbicas de um complexou  , determine as outras raízes cúbicas deu    .

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 3

Considere os números complexos:z = - 2i   ,w = 1 + \frac{1}{i}   , t = - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)  .

 

1. Represente os números complexos dados na forma trigonométrica.

 

2. Represente na forma algébrica o complexou = {w^5}  .

 

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