Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 9

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere ${z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3}$ e ${z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}$ .

9.1. Resolva a equação ${z^3} + {z_1} = {z_2}$ , sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

9.2. Seja um número complexo não nulo.

Mostre que, se e $\frac{1}{w}$ são raízes de índice de um mesmo número complexo , então z = 1 ou z = - 1 .

Resolução do exercício de matemática:

9.1.

${z^3} + {z_1} = {z_2} \Leftrightarrow {z^3} + {\left( { - 2 + i} \right)^3} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} + {\left( { - 2} \right)^3} + 3 \times {\left( { - 2} \right)^2} \times i + 3 \times \left( { - 2} \right) \times {i^2} + {i^3} = \frac{{\left( {1 + 28i} \right) \times \left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right) \times \left( {2 - i} \right)}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 8 + 12i - 6 \times \left( { - 1} \right) - i = \frac{{2 - i + 56i - 28{i^2}}}{{{2^2} - {i^2}}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = \frac{{2 + 55i - 28 \times \left( { - 1} \right)}}{{4 + 1}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = \frac{{30 + 55i}}{5} \Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = 6 + 11i \Leftrightarrow {z^3} = 8 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} = 8\operatorname{cis} 0 \Leftrightarrow z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \frac{{0 + 2k\pi }}{3},k \in \left\{ {0,1,2} \right\} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z = 2\operatorname{cis} \frac{{2k\pi }}{3},k \in \left\{ {0,1,2} \right\}$

Para k = 0 , $z = 2\operatorname{cis} 0$

Para k = 1 , $z = 2\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}$

Para k = 2 , $z = 2\operatorname{cis} \frac{{4\pi }}{3}$

9.2.

${w^n} = {\left( {\frac{1}{w}} \right)^n} = z$

${w^n} = {\left( {\frac{1}{w}} \right)^n} \Leftrightarrow {w^n} = \frac{1}{{{w^n}}} \Leftrightarrow {\left( {{w^n}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {w^n} = - 1 \vee {w^n} = 1 \Leftrightarrow z = - 1 \vee z = 1$