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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Atividades de Matemática de Números Complexos 12º Ano.

Aqui podes encontrar diversas atividades de exercícios resolvidos de números complexos para o 12º Ano. Prepara-te para o exame de matemática de 12º Ano resolvendo todos os exercícios propostos. Não vais falhar no teste final !!!

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Exercício
1 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 10
2 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 9
3 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 8
4 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 7
5 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 6
6 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 5
7 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 4
8 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 3
9 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 2
10 Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 1


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      1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.

2.   Seja \alpha  \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi  - 2\alpha } \right).

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.

1. Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 7

Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo\sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right).

 Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

 

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 6

Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexosz  que satisfazem as condições:

 

1. 1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge  2

 

2. \left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1

 

3. 0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 5

Considere o númeroz = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)     .

Determine o menor número natural  n   de modo que{z^n}    seja  :

 

a)   Um número real;

 

b)   Um número imaginário puro.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 4

Considere os númerosr = 4 + 2i   ew = 2{\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)   .

 

a)   Represente na forma algébrica o complexot = \frac{r}{w}    .

 

b)   Resolva, em\mathbb{C}   , a equação i{z^4} = w    .

 

c)   Sabe-se quew  é uma das raízes cúbicas de um complexou  , determine as outras raízes cúbicas deu    .

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 3

Considere os números complexos:z = - 2i   ,w = 1 + \frac{1}{i}   , t = - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)  .

 

1. Represente os números complexos dados na forma trigonométrica.

 

2. Represente na forma algébrica o complexou = {w^5}  .

 

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