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Exercicios de Matematica - Funções

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função exponencial e logarítmica - Exercício 1

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, e a função g, de domínio \left] {0, + \infty } \right[, definidas por:

f\left( x \right) = {e^{x - 2}} - \frac{{4{e^{ - x}} + 4}}{{{e^2}}} e g\left( x \right) = - \ln \left( x \right) + 4

1. Mostre que \ln \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) é o único zero da função f, recorrendo a métodos
exclusivamente analíticos.

2. Considere, num referencial o.n. xOy, os gráficos das funções f e g e o triângulo \left[ {OAB} \right].

Sabe-se que:

O é a origem do referencial;

A e B são pontos do gráfico de f;

• a abcissa do ponto A é o zero da função f;

• o ponto B é o ponto de interseção do gráfico da função f com o gráfico da função g.

Determine a área do triângulo \left[ {OAB} \right], recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• assinalar os pontos A e B;

• indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Função exponencial e logarítmica - Exercício 1

 

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 2

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}&{{\text{se}}}&{x > 0} \\ {x{e^{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 0} \end{array}} \right.

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

 

1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x = - 1.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 2

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 2

Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo \left[ {ABCD} \right].exame 2012 f1 g2 exercicio6

Sabe-se que:

\overline {BC} = 1

\overline {CD} = 1

\alpha é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC

\alpha \in \left] {\frac{\pi }{2},\pi } \right[

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Mostre que o perímetro do trapézio \left[ {ABCD} \right] é dado, em função de \alpha , por 

P\left( \alpha \right) = 3 + \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }}.

2. Para um certo número real \theta , tem-se que \operatorname{tg} \theta = - \sqrt 8 , com \frac{\pi }{2} < \theta < \pi

Determine o valor exato de P'\left( \theta \right).

Comece por mostrar que P'\left( \alpha \right) = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }}.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 2

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 1

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}, definida por:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1.   Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.


2.   Seja  g a função, de domínio {\mathbb{R}^ + }, definida por g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x.

      Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em \left] {0,e} \right].

 

3.   Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, de domínio {\mathbb{R}^ + }, definida por g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x.

              Sabe-se que:

  • A  é o ponto de coordenadas \left( {2,0} \right)
  • B  é o ponto de coordenadas \left( {5,0} \right)
  • P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g.

   Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

   Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

               Na sua resposta, deve:

  • equacionar o problema;
  • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
  • indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 1

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Derivadas - Exercício 1

Na figura 2, está representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3.

 

exame-matA-fase1-2013-ex51

Sabe-se que:

  • -1  e 2 são os únicos zeros da função f;
  • g' a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio \mathbb{R} e é definida por g'\left( x \right) = f\left( x \right) \times {e^{ - x}};
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0.

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g.

exame-matA-fase1-2013-ex52

 

Nota - Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabore uma composição na qual:

  • identifique a opção que pode representar a função g;
  • apresente as razões para rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

 

 

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Derivadas - Exercício 1

   

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Funções trigonométricas 11º Ano

Redução ao Primeiro Quadrante

Observa a seguinte Figura:

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img01

Os triângulos \left[ {OAD} \right]{\text{ e }}\left[ {OBF} \right] são congruentes (geometricamente iguais).

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Exercícios de Matemática

Estudo de uma função quanto à monotonia e existência de extremos relativos

Exercício 3

Considere a função f , definida por:

f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 4

Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

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Exercícios de Matemática

Exercícios de Matemática 11º Sucessões

Exercício 1

Considere a sucessão ({u_n}) de termo geral

{u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}

  1. Calcule o 4º termo da sucessão
  2. Averigue se 1,9 é termo da sucessão

 

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Funções trigonométricas

Estudo da Função Tangente

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = tg{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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Exercícios de Matemática

Equação de uma Reta Tangente ao Gráfico

Exercício 1

 

Considere a função f , definida por

f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1

Escreva uma equação de uma reta tangente ao gráficof  de no ponto de abcissa:

a. 2

b. 1

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Funções trigonométricas

Estudo da Função cosseno

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = cos{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Exercícios de Matemática

Taxa de Variação média

Exercício 1

 

Considere a função , definida por f(x) = {x^2} - 3x + 4.

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

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Funções trigonométricas

Estudo da Função seno

Considera a função real de variável real f, definida por f(x) = sen{\text{ }}x.

1. Indica o dominio de f.


2. Esboça o gráfico de f.


3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função f quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

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      1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.

2.   Seja \alpha  \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi  - 2\alpha } \right).

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.

1. Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

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Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 7

Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo\sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right).

 Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

 

 

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 6

Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexosz  que satisfazem as condições:

 

1. 1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge  2

 

2. \left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1

 

3. 0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 5

Considere o númeroz = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)     .

Determine o menor número natural  n   de modo que{z^n}    seja  :

 

a)   Um número real;

 

b)   Um número imaginário puro.

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 4

Considere os númerosr = 4 + 2i   ew = 2{\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)   .

 

a)   Represente na forma algébrica o complexot = \frac{r}{w}    .

 

b)   Resolva, em\mathbb{C}   , a equação i{z^4} = w    .

 

c)   Sabe-se quew  é uma das raízes cúbicas de um complexou  , determine as outras raízes cúbicas deu    .

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Exercícios de Matemática 12º Ano - Complexos

Exercício 3

Considere os números complexos:z = - 2i   ,w = 1 + \frac{1}{i}   , t = - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)  .

 

1. Represente os números complexos dados na forma trigonométrica.

 

2. Represente na forma algébrica o complexou = {w^5}  .

 

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