Partilhar:

Facebook Twitter Google Digg Reddit LinkedIn Pinterest StumbleUpon Email

Exercicios de Matematica - Probabilidades

Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 18

 

Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A \subset \Omega e B \subset \Omega ), com P\left( B \right) \ne 0.

 

Mostre que P\left( {\overline {A \cap B} |B} \right) + P\left( {A|B} \right) = 1.

 

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 18

 

Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 17

A empresa AP comercializa pacotes de açúcar.

 

17.1.     Seja Y a variável aleatória «massa, em gramas, de um pacote de açúcar comercializado pela empresa AP».

A variável aleatória  Y segue uma distribuição normal de valor médio 6,5 gramas e desvio padrão 0,4 gramas.

Um pacote de açúcar encontra-se em condições de ser comercializado se a sua massa estiver compreendida entre 5,7 gramas e 7,3 gramas.

Determine o valor aproximado da probabilidade de, em 10 desses pacotes de açúcar, exatamente oito estarem em condições de ser comercializados.

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.

 

17.2.       Considere o problema seguinte.

      «A empresa AP pretende aplicar, junto dos seus funcionários, um programa de reeducação alimentar.

                De entre os 500 funcionários da empresa AP vão ser selecionados 30 para formarem um grupo para

                frequentar esse programa.

                A Joana e a Margarida são irmãs e são funcionárias da empresa AP.

      Quantos grupos diferentes podem ser formados de modo que, pelo menos, uma das duas irmãs, a Joana ou a

      Margarida, não seja escolhida para esse grupo?».

      Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas.

   I)    {}^{500}{C_{30}} - {}^{498}{C_{28}}                                 II)  2 \times {}^{498}{C_{29}} + {}^{498}{C_{30}}

     Numa composição, apresente o raciocínio que conduz a cada uma dessas respostas.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 17

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 16

Um dos jogos mais populares da feira anual de Vila Nova de Malmequeres é a Roda da Fortuna.

Neste jogo, cada jogada consiste em girar, aleatoriamente, uma roda que está dividida em três setores circulares com áreas diferentes e numerados de acordo com o esquema da Figura 1.


Para jogar, uma pessoa tem, previamente, de se inscrever, de indicar o número de jogadas que pretende realizar e de efetuar o respetivo pagamento.Sempre que a roda é posta a girar, quando esta para, o ponteiro indica um setor. O prémio a receber em cada jogada corresponde ao valor, em euros, registado no setor indicado pelo ponteiro, no instante em que a roda para.
 
 

Seja X a variável aleatória «número registado no setor indicado pelo ponteiro no instante em que a roda para, numa jogada».
A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

exame b g1 exercicio1 02

ondea  representa um número real.

 

16.1.    Mostre que a = 0,13.


16.2.     Na Roda da Fortuna, um jogador terá lucro apenas se o valor total a receber em prémios nas jogadas que realizar

              for superior ao valor total pago pela inscrição efetuada.

              O Ivo inscreveu-se para realizar duas jogadas e pagou 4 euros por essa inscrição.

     Mostre que a probabilidade de o Ivo obter lucro, com a realização das duas jogadas, é 0,1417.

 

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 16

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 15

Numa conferência de imprensa, estiveram presentes 20 jornalistas.

15.1.   Considere a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos 20 jornalistas presentes nessa

         conferência de imprensa.

         Seja X a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos».

         A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte:

2013-f2-g2-ex3

          Considere agora a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, dois dos 20 jornalistas presentes nessa

          conferência de imprensa.

          Seja Y a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos».

          Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável Y.

          Apresente as probabilidades na forma de fração.

15.2.   Considere o problema seguinte.

           «Admita que a conferência de imprensa se realiza numa sala, cujas cadeiras se encontram dispostas em cinco filas,

            cada uma com oito cadeiras. Todos os jornalistas se sentam, não mais do que um em cada cadeira, nas três

            primeiras filas.

            De quantas maneiras diferentes se podem sentar os 20 jornalistas, sabendo que as duas primeiras filas devem 

            ficar totalmente ocupadas?»

            Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas.

            Resposta I)   {}^{20}{C_{16}} \times 16! \times {}^8{A_4}                                       Resposta II)   {}^{20}{A_8} \times {}^{12}{A_8} \times {}^8{A_4}

           Numa composição, apresente os raciocínios que conduzem a cada uma dessas respostas.


Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 15

   

Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 14

Na Figura 3, está representado um dado cúbico, não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 3, em que faces opostas têm o mesmo número.

2013-f2-g2-ex2

Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face que fica voltada para cima.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

   A: «sair número ímpar»

   B: «sair número menor que 3»

Sabe-se que:

  • P\left( {\overline A  \cup \overline B } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9}
  • P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{7}

 Determine a probabilidade de sair o número 3.

Atividades de Matematica Resolução: Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 14

   

Pág. 1 de 2

Exercícios de Matemática

Estudo de uma função quanto à monotonia e existência de extremos relativos

Exercício 3

Considere a função f , definida por:

f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 4

Estude a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Na edição de 2010 da feira anual, a organização do jogo Roda da Fortuna limitou o número total de inscrições no jogo. Estipulou que, em cada dia de feira, haveria, no máximo, mais 8 inscrições do que no dia anterior.
No final da feira desse ano, a organização revelou que, no primeiro dia, houve 6 inscrições no jogo Roda da Fortuna e que, nos restantes dias, se esgotou o número de inscrições estipulado para cada um dos dias.

1.  Determine o número de inscrições feitas no décimo dia da feira anual de 2010.

2.  Admita que, nos dois últimos dias da feira anual de 2010, houve um total de 340 inscrições na Roda da Fortuna.

Determine o número de dias que durou a feira anual de 2010.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

A Jalur é uma empresa que produz, artesanalmente, janelas de estilo antigo para o mercado de uma certa região. O gestor da Jalur sabe que a empresa consegue vender, nesse mercado, todas as janelas que produzir.

As janelas de estilo antigo produzidas pela Jalur são de dois tipos: Tipo I e Tipo II.
Sabe-se que:

- para produzir uma janela do Tipo I, são necessárias uma hora na secção de corte, três horas na secção de polimento e duas horas na secção de acabamentos;

- para produzir uma janela do Tipo II, são necessárias uma hora na secção de corte, duas horas na secção de polimento e uma hora na secção de acabamentos;


- as secções de produção da Jalur têm, semanalmente, a seguinte disponibilidade:

• secção de corte: 16 horas;
• secção de polimento: 36 horas;
• secção de acabamentos: 22 horas.

O lucro que a Jalur obtém ao vender uma janela do Tipo I é 30 euros, e o que obtém ao vender uma janela do Tipo II é 25 euros.
Designe por o número de janelas do Tipo I produzidas, semanalmente, pela Jalur, e designe por y o número de janelas do Tipo II produzidas, semanalmente, pela Jalur.

 

2.1.    É possível a Jalur produzir um total de 15 janelas de estilo antigo, numa semana?

   Justifique a sua resposta.

 

2.2.    Determine, quantas janelas do Tipo I e quantas janelas do Tipo II deve a Jalur produzir, semanalmente, para,

           nas condições referidas, obter lucro máximo.

   Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• indicar a função objetivo;
• indicar as restrições do problema;
• representar, graficamente, a região admissível referente ao sistema de restrições;
• calcular o número de janelas do Tipo I e o número de janelas do Tipo II que a Jalur deve produzir, semanalmente, correspondentes à solução do problema.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Considere a função , de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}, definida por f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}.

1.1. Determine o conjunto solução da f\left( x \right) < 3.

1.2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de f.

1.3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Exercícios de Matemática

Equação de uma Reta Tangente ao Gráfico

Exercício 1

 

Considere a função f , definida por

f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1

Escreva uma equação de uma reta tangente ao gráficof  de no ponto de abcissa:

a. 2

b. 1

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Considere a sucessão ({u_n}) de termo geral

{u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}

1.1.    Calcule o 4º termo da sucessão

1.2.    Averigue se 1,9 é termo da sucessão

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

A Figura 2 representa parte da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico com as previsões das alturas de maré, no porto de Leixões, para os sete primeiros dias do mês de julho de 2010.

exame b g2 exercicio1 01

Os valores das alturas estão em metros e o tempo é indicado em horas e minutos de cada dia.

Com base nos dados da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico, o Rui obteve, por regressão sinusoidal, a seguinte expressão, que relaciona a altura de maré, M, em metros, no porto de Leixões, com o tempo, t, em horas, contado a partir das zero horas do dia 1 de julho de 2010:


M\left( t \right) = 2 + 1,02\operatorname{sen} \left( {0,50t - 1,44} \right)  para t \geqslant 0


O argumento da função seno está em radianos.

 

1.1.    Descreva, com base na expressão obtida pelo Rui, a previsão da variação da altura de maré durante o primeiro dia de

         julho de 2010, indicando os instantes entre os quais a  maré subiria e os instantes entre os quais a maré desceria.

 Apresente os valores em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

 Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados às centésimas.

 

1.2.   Determine a diferença entre a altura de maré prevista pelo Instituto Hidrográfico para as 18 horas e 36 minutos do

         dia 2 de julho de 2010 e a altura de maré, para o mesmo instante, dada pela expressão obtida pelo Rui.

  Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

   Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve pelo menos três casas decimais.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Exercícios de Matemática

Taxa de Variação média

Exercício 1

 

Considere a função , definida por f(x) = {x^2} - 3x + 4.

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.

 

12.1.     Seja n um número natural.

    Determine \frac{{\sqrt 3  \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}, sem recorrer à calculadora.

      Apresente o resultado na forma trigonométrica.

 

12.2.     Seja \alpha  \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[ .

    Sejam {z_1} e {z_2} dois números complexos tais que {z_1} = \operatorname{cis} \alpha e {z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right).

      Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de  {z_1} + {z_2}, no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.


11.1.   Considere  {z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}  e  {z_2} = \operatorname{cis} \alpha , com \alpha  \in \left[ {0,\pi }                   \right[.

          Determine os valores de \alpha , de modo que {z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2} seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.


11.2.     Seja z um número complexo tal que {\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10 .

            Mostre que \left| z \right| \leqslant 2.

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

      10.1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.


10.2.   Seja \alpha  \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha  + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi  - 2\alpha } \right).

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.


9.1.   Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

 

9.2.   Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

8.1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

8.2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Na figura está representado um hexágono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice 6 de um certo número complexo. O vértice C é a imagem geométrica do número complexo \sqrt 2 {\rm{cis}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right).

 Determine o número complexo que tem por imagem geométrica o vértice D.

 

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Represente geometricamente (diagrama de Argand) o conjunto dos pontos do plano definido pelas imagens dos complexos z  que satisfazem as condições:

 

6.1.    1 \le {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 4{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z - i} \right) \ge  2

 

6.2.    \left| {z + 2 - i} \right| \le 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ge 1

 

6.3.    0 \le {\rm{arg}}\left( {z + 1 - i} \right) < \frac{\pi }{2}{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}\left| {z + 1 - i} \right| \ge 2

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Considere o número  z = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right).

Determine o menor número natural  n  de modo que {z^n}  seja  :

 

5.1.   Um número real;

 

5.2.   Um número imaginário puro.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...