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Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 5

Considere o número  z = 1 + {\rm{cis}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right).

Determine o menor número natural  n  de modo que {z^n}  seja  :

 

5.1.   Um número real;

 

5.2.   Um número imaginário puro.

 

Resolução do exercício de Matemática:

 

5.1. z = 1 + \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1 + \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i

 

r = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 3

 

\operatorname{tg} \theta = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{\text{ }} \wedge {\text{ }}\theta \in 1Q{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}\theta = \frac{\pi }{6}

 

z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{6}} \right)

 

{z^n} = {\left( {\sqrt 3 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \right)^n} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^n}\operatorname{cis} \left( {\frac{{n\pi }}{6}} \right)

 

\frac{{n\pi }}{6} = k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n\pi = 6k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n = 6k,k \in \mathbb{Z}

 

O menor valor de n  é 6 (corresponde a k = 1 ).

 

5.2.  {z^n} = {\left( {\sqrt 3 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \right)^n} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^n}\operatorname{cis} \left( {\frac{{n\pi }}{6}} \right)

 

\frac{{n\pi }}{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n\pi = 3\pi + 6k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n = 3 + 6k,k \in \mathbb{Z}

 

O menor valor de n  é 3 (corresponde a k = 0 ).

 

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