Exercicios de Matematica - Números Complexos

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 12

Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.

 

12.1.     Seja n um número natural.

    Determine \frac{{\sqrt 3  \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}, sem recorrer à calculadora.

      Apresente o resultado na forma trigonométrica.

 

12.2.     Seja \alpha  \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[ .

    Sejam {z_1} e {z_2} dois números complexos tais que {z_1} = \operatorname{cis} \alpha e {z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right).

      Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de  {z_1} + {z_2}, no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 12

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 11

Seja \mathbb{C} o conjunto dos números complexos.


11.1.   Considere  {z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}  e  {z_2} = \operatorname{cis} \alpha , com \alpha  \in \left[ {0,\pi }                   \right[.

          Determine os valores de \alpha , de modo que {z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2} seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.


11.2.     Seja z um número complexo tal que {\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10 .

            Mostre que \left| z \right| \leqslant 2.

 

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 11

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 9

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3} e {z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}.


9.1.   Resolva a equação {z^3} + {z_1} = {z_2}, sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

 

9.2.   Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e \frac{1}{w} são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = - 1.

Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 9

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