Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 12

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

12.1. Seja um número natural.

Determine $\frac{{\sqrt 3 \times {i^{4n - 6}} + 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{5}} \right)}}$ , sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

12.2. Seja $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right[$ .

Sejam ${z_1}$ e ${z_2}$ dois números complexos tais que ${z_1} = \operatorname{cis} \alpha$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de ${z_1} + {z_2}$ , no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

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Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 11

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

11.1. Considere ${z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \alpha$ , com $\alpha \in \left[ {0,\pi } \right[$ .

Determine os valores de $\alpha$ , de modo que ${z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2}$ seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.

11.2. Seja z um número complexo tal que ${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10$ .

Mostre que $\left| z \right| \leqslant 2$ .

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Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 10

10.1. Considere ${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}$ e ${z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}$ .

Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que ${\left( {{z_2}} \right)^n}$ é um número real negativo.

10.2. Seja $\alpha \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[$ .

Mostre que $\frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right)$ .