Exercicios de Matematica 12 ANO - Probabilidades - Exercício 9

Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato.

Todas as bolas estão numeradas com um único número natural.

Sabe-se que:

  • duas bolas em cada cinco são pretas;
  • 20\% das bolas pretas têm um número par;
  • 40\% das bolas brancas têm um número ímpar.

 

     1.   Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa.

               Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par.

     Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

 

2.  Admita agora que a caixa tem n bolas.

   Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.

  Determine n, sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a \frac{7}{{20}}.

 

Resolução do exercício de matemática:

1.  Sejam:

    A: “a bola é preta”

    B: “a bola tem um número ímpar”

  P\left( A \right) = \frac{2}{5}

   P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

  P\left( {\overline B |A} \right) = 0,2 = \frac{1}{5}

   P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4 = \frac{2}{5}

   P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

  

P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {A \cap \overline B } \right) + P\left( {\overline A  \cap \overline B } \right)}} =

 

 = \frac{{P\left( {\overline B |A} \right) \times P\left( A \right)}}{{P\left( {\overline B |A} \right) \times P\left( A \right) + P\left( {\overline B |\overline A } \right) \times P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \times \frac{2}{5}}}{{\frac{1}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}}} =

 

 = \frac{{\frac{2}{{25}}}}{{\frac{2}{{25}} + \frac{9}{{25}}}} = \frac{{\frac{2}{{25}}}}{{\frac{{11}}{{25}}}} = \frac{2}{{11}}

2.   Das n bolas que a caixa contém \frac{2}{5}n são pretas e \frac{3}{5}n são brancas.

      \frac{7}{{20}} = \frac{{\frac{3}{5}n}}{n} \times \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{7}{{20}} = \frac{3}{5} \times \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{7}{{20}}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow

        \Leftrightarrow \frac{{35}}{{60}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{7}{{12}} = \frac{{\frac{3}{5}n - 1}}{{n - 1}} \Leftrightarrow 7n - 7 = \frac{{36}}{5}n - 12 \Leftrightarrow

        \Leftrightarrow 12 - 7 = \frac{{36}}{5}n - \frac{{35}}{5}n \Leftrightarrow 5 = \frac{1}{5}n \Leftrightarrow n = 25

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