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Exercicios de Matematica 12 ANO - Números Complexos - Exercício 10

      10.1. Considere {z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}  e {z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}.

         Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  {\left( {{z_2}} \right)^n}é um número real negativo.


10.2.   Seja \alpha \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[ .

        Mostre que \frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right).

 

Resolução do exercício de matemática:


10.1.   

{z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^2} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} - 1 = \frac{{1 + \sqrt 3 i - 2}}{2} =

= - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i

\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 1 = 1

\operatorname{tg} \theta = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} \wedge \theta \in 2Q \Leftrightarrow \operatorname{tg} \theta = - \sqrt 3 \wedge \theta \in 2Q \Rightarrow \theta = \frac{{2\pi }}{3}

{z_1} = 1\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)

{z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right) \times \operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)}} =

= 2\operatorname{cis} \left( {\pi - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)

{\left( {{z_2}} \right)^n} = {2^n}\operatorname{cis} \left( { - \frac{{\pi n}}{6}} \right)

{\left( {{z_2}} \right)^n} é um número real negativo se:

- \frac{{\pi n}}{6} = \pi + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \pi n = - 6\pi - 12k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow n = - 6 - 12k,k \in \mathbb{Z}

Para k = - 1, obtemos n = 6.

Logo, n = 6.


10.2.

\frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\operatorname{sen} \left( \alpha \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} =

= \frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\operatorname{sen} \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \frac{{\operatorname{cis} \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\operatorname{cis} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - \alpha - \alpha } \right) = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right)

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