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Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 1

Considere, num referencial ortonormado do plano, os vetores $\overrightarrow u \left( {3, - 4} \right)$ e $\overrightarrow v \left( { - 1, - 2} \right)$ ; os pontos $A\left( {1, - 5} \right)$ e $B\left( { - 3,6} \right)$

e a reta definida por $\left( {x,y} \right) = \left( {2,0} \right) + k\left( { - 1,3} \right),k \in \mathbb{R}$ .

1.1. Calcule $\left\| {\overrightarrow u } \right\|$ .

1.2. Escreva as coordenadas do simétrico de em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

1.3. Escreva a equação reduzida da reta .

1.4. Escreva uma equação vetorial da reta , paralela a e que contém .

Resolução dos exercícios de matemática:

1.1. $\left\| {\overrightarrow u } \right\| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5$

1.2. O simétrico de $P\left( {x,y} \right)$ em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares é $Q\left( {y,x} \right)$ . Logo, $A'\left( { - 5,1} \right)$ .

1.3. Um vetor diretor da reta é: $\overrightarrow r \left( { - 1,3} \right)$

Logo, $m = \frac{3}{{ - 1}} = - 3$ .

Logo, a equação reduzida da reta é do tipo: y = - 3x + b .

Como $P\left( {2,0} \right)$ é um ponto da reta , tem-se que:

$0 = - 3 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 6$

Logo, a equação reduzida da reta é: y = - 3x + 6 .

1.4. Como as retas e são paralelas, têm o mesmo declive $\left( { - 3} \right)$ .

Logo, a equação reduzida da reta é do tipo: y = - 3x + b .

Como $B\left( { - 3,6} \right)$ é um ponto da reta , tem-se que:

$6 = - 3 \times \left( { - 3} \right) + b \Leftrightarrow 6 = 9 + b \Leftrightarrow b = - 3$

Logo, a equação reduzida da reta é: y = - 3x - 3 .

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