Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 1

Considere, num referencial ortonormado do plano, os vetores \overrightarrow u \left( {3, - 4} \right) e \overrightarrow v \left( { - 1, - 2} \right); os pontos A\left( {1, - 5} \right) e B\left( { - 3,6} \right)

e a reta r definida por \left( {x,y} \right) = \left( {2,0} \right) + k\left( { - 1,3} \right),k \in \mathbb{R}.


1.1. Calcule \left\| {\overrightarrow u } \right\|.

1.2. Escreva as coordenadas do simétrico de A em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

1.3. Escreva a equação reduzida da reta r.

1.4. Escreva uma equação vetorial da reta s, paralela a r e que contém B.

 

 Resolução dos exercícios de matemática:


1.1. \left\| {\overrightarrow u } \right\| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5

 

1.2. O simétrico de P\left( {x,y} \right) em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares é Q\left( {y,x} \right). Logo, A'\left( { - 5,1} \right).

 

1.3. Um vetor diretor da reta é: \overrightarrow r \left( { - 1,3} \right)

Logo,  m = \frac{3}{{ - 1}} = - 3.

Logo, a equação reduzida da reta é do tipo:  y = - 3x + b.

Como P\left( {2,0} \right) é um ponto da reta r, tem-se que:

0 = - 3 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 6

Logo, a equação reduzida da reta r é:  y = - 3x + 6.


1.4.  Como as retas r e s são paralelas, têm o mesmo declive \left( { - 3} \right).

Logo, a equação reduzida da reta é do tipo:  y = - 3x + b.

Como B\left( { - 3,6} \right) é um ponto da reta s, tem-se que:

6 = - 3 \times \left( { - 3} \right) + b \Leftrightarrow 6 = 9 + b \Leftrightarrow b = - 3

Logo, a equação reduzida da reta s é:  y = - 3x - 3.

 


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