Almada Negreiros, escritor e artista plástico, concebeu, no final da década de 1950, um conjunto de quadros de natureza abstracta, nos quais a Geometria e o Número são o tema central.
![exame b g3 exercicio1 01](/images/stories/atividades/exames/exame_b_g3_exercicio1_01.png)
A Figura 3 apresenta uma fotografia de um desses quadros, A Porta da Harmonia, um óleo sobre tela, pintado a preto e branco.
A Figura 4, que não está à escala, mostra uma composição geométrica representativa do quadro, constituída pelos quadrados [OPQR], [ABCD], [EFGH] e [IFJL] e posicionada no primeiro quadrante de um referencial ortogonal e monométrico
.
Os lados [OP] e [OR] do quadrado [OPQR] estão contidos, respetivamente, no semieixo positivo
e no semieixo positivo
desse referencial.
Considere que:
• [ABCD] está inscrito em [OPQR]
• o ponto B tem coordenadas (14 , 6)
• o ponto A tem abcissa 6
• os vértices de [EFGH] são os pontos médios dos lados de [ABCD]
• [IFJL] está contido em [ABCD]
• a razão de semelhança entre [EFGH] e [IFJL] é ![\sqrt 2 \sqrt 2](/images/jlatex/9fd2c69e7ceafb14bb38c03553951cb1.gif)
• o ponto M é o ponto de interseção de [EF] com [IL]
6.1. Mostre que
.
6.2. Mostre que o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é exatamente metade do comprimento do lado do quadrado
[ABCD].
Sugestão – Na sua resposta, poderá começar por calcular o comprimento do lado do quadrado [EFGH] e utilizar a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] para calcular o comprimento do lado do quadrado [IFJL].
6.3. Admita que o quadrado [IFJL] pode rodar em torno do ponto F, de modo a
tomar valores entre 0 e 5, e que,
nesse movimento, o triângulo [IFM] se mantém não sombreado.
Considere
.
Seja a função real de variável real definida por
com
.
Para cada valor de
, a função
permite obter a área da parte da composição representada a sombreado.
Existe algum valor de
para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da
área do quadrado [OPQR]?
Justifique a sua resposta.
Resolução do exercício de matemática:
6.1.
![\overline {AD} = \overline {AB} \overline {AD} = \overline {AB}](/images/jlatex/e3f47b6de842ac622df2040b09a90152.gif)
![B\left( {14,6} \right) B\left( {14,6} \right)](/images/jlatex/0db087a421fcb91ead7ff1b4ea97e25c.gif)
![\overline {AB} = \sqrt {{{\left( {14 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {100} = 10 \overline {AB} = \sqrt {{{\left( {14 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {100} = 10](/images/jlatex/7b3b82d0f715b216f0e84edfeed01dfd.gif)
Logo,
.
6.2.
![\overline {AE} = \overline {AF} = 5 \overline {AE} = \overline {AF} = 5](/images/jlatex/0f2ba718015adc1288cb220e003b1124.gif)
![{\overline {EF} ^2} = {5^2} + {5^2} \Leftrightarrow {\overline {EF} ^2} = 50 \Rightarrow \overline {EF} = \sqrt {50} \Leftrightarrow \overline {EF} = 5\sqrt 2 {\overline {EF} ^2} = {5^2} + {5^2} \Leftrightarrow {\overline {EF} ^2} = 50 \Rightarrow \overline {EF} = \sqrt {50} \Leftrightarrow \overline {EF} = 5\sqrt 2](/images/jlatex/6c5624cdba2efc53b8de515a519f859d.gif)
Como a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] é
, tem-se que:
![\overline {IF} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 5 \overline {IF} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 5](/images/jlatex/4d641ea00bbba18f311e91f97f358845.gif)
Logo,
.
Logo, o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é metade do comprimento do lado do quadrado [ABCD].
6.3.
A área do quadrado [OPQR] é igual a 14x14=196.
desta área é igual a 0,4x196=78,4.
![g\left( k \right) = 78,4 \Leftrightarrow 75 - 5k = 78,4 \Leftrightarrow - 5k = 3,4 \Leftrightarrow k = - 0,68 g\left( k \right) = 78,4 \Leftrightarrow 75 - 5k = 78,4 \Leftrightarrow - 5k = 3,4 \Leftrightarrow k = - 0,68](/images/jlatex/f9d10c77c68fbe75479c8f081237b1db.gif)
impossível , uma vez que
.
Logo, não existe nenhum valor de para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da área do quadrado [OPQR].