Atividades Educativas

Atividades Para Imprimir

Exercícios de Matemática

Jogos de Matematica

Exames de Matemática

Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 6

Almada Negreiros, escritor e artista plástico, concebeu, no final da década de 1950, um conjunto de quadros de natureza abstracta, nos quais a Geometria e o Número são o tema central.

exame b g3 exercicio1 01

A Figura 3 apresenta uma fotografia de um desses quadros, A Porta da Harmonia, um óleo sobre tela, pintado a preto e branco.
A Figura 4, que não está à escala, mostra uma composição geométrica representativa do quadro, constituída pelos quadrados [OPQR], [ABCD], [EFGH] e [IFJL] e posicionada no primeiro quadrante de um referencial ortogonal e monométrico xOy .
Os lados [OP] e [OR] do quadrado [OPQR] estão contidos, respetivamente, no semieixo positivo e no semieixo positivo desse referencial.

Considere que:
• [ABCD] está inscrito em [OPQR]
• o ponto B tem coordenadas (14 , 6)
• o ponto A tem abcissa 6
• os vértices de [EFGH] são os pontos médios dos lados de [ABCD]
• [IFJL] está contido em [ABCD]
• a razão de semelhança entre [EFGH] e [IFJL] é $\sqrt 2$
• o ponto M é o ponto de interseção de [EF] com [IL]

6.1. Mostre que $\overline {AD} = 10$ .

6.2. Mostre que o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é exatamente metade do comprimento do lado do quadrado

[ABCD].

Sugestão – Na sua resposta, poderá começar por calcular o comprimento do lado do quadrado [EFGH] e utilizar a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] para calcular o comprimento do lado do quadrado [IFJL].

6.3. Admita que o quadrado [IFJL] pode rodar em torno do ponto F, de modo a $\overline {IM}$ tomar valores entre 0 e 5, e que,

nesse movimento, o triângulo [IFM] se mantém não sombreado.

Considere $\overline {IM} = k$ .

Seja a função real de variável real definida por $g\left( k \right) = 75 - 5k$ com $0 \leqslant k \leqslant 5$ .

Para cada valor de , a função permite obter a área da parte da composição representada a sombreado.

Existe algum valor de para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da

área do quadrado [OPQR]?

Justifique a sua resposta.

Resolução do exercício de matemática:

6.1.

$\overline {AD} = \overline {AB}$

$A\left( {6,0} \right)$ $B\left( {14,6} \right)$

$\overline {AB} = \sqrt {{{\left( {14 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {100} = 10$

Logo, $\overline {AD} = 10$ .

6.2.

$\overline {AE} = \overline {AF} = 5$

${\overline {EF} ^2} = {5^2} + {5^2} \Leftrightarrow {\overline {EF} ^2} = 50 \Rightarrow \overline {EF} = \sqrt {50} \Leftrightarrow \overline {EF} = 5\sqrt 2$

Como a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] é $\sqrt 2$ , tem-se que:

$\overline {IF} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 5$

Logo, $\overline {IF} = \frac{{\overline {AB} }}{2}$ .

Logo, o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é metade do comprimento do lado do quadrado [ABCD].

6.3.

A área do quadrado [OPQR] é igual a 14x14=196.

desta área é igual a 0,4x196=78,4.

$g\left( k \right) = 78,4 \Leftrightarrow 75 - 5k = 78,4 \Leftrightarrow - 5k = 3,4 \Leftrightarrow k = - 0,68$

impossível , uma vez que $0 \leqslant k \leqslant 5$ .

Logo, não existe nenhum valor de para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da área do quadrado [OPQR].

Atividade de Matemática

Atividades Educativas

Atividades Para Imprimir

Exercícios de Matemática

Exames de Matemática

Jogos de Matematica

Atividades Educativas

Atividades Para Imprimir

Exercícios de Matemática

Jogos de Matematica

Exames de Matemática

Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 6

Atividades Relacionadas