Geometria no Plano e no Espaço - Exercício 5

Considere, num referencial ortonormado do plano, retas e definidas por:

$r:{\text{ }}\left( {x,y} \right) = \left( {1, - 3} \right) + k\left( {2,3} \right),k \in \mathbb{R}$

$s:{\text{ }}y = 4x - 1$

Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas e .

Resolução do exercício de matemática:

Escrever a equação reduzida da reta :

$m = \frac{3}{2}$

A equação reduzida da reta é do tipo: $y = \frac{3}{2}x + b$ .

Como $P\left( {1, - 3} \right)$ é um ponto da reta , tem-se que:

$- 3 = \frac{3}{2} \times 1 + b \Leftrightarrow b = - \frac{9}{2}$

Logo, a equação reduzida da reta é: $y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}$ .

Coordenadas do ponto de interseção das retas e :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {y = 4x - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - \frac{9}{2} = 4x - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - 4x = - 1 + \frac{9}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {\frac{3}{2}x - \frac{8}{2}x = - \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {3x - 8x = - 2 + 9} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ { - 5x = 7} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{3}{2}\left( { - \frac{7}{5}} \right) - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{21}}{{10}} - \frac{9}{2}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{21}}{{10}} - \frac{{45}}{{10}}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{76}}{{10}}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - \frac{{38}}{5}} \\ {x = - \frac{7}{5}} \end{array}} \right.$

Logo, $I\left( { - \frac{7}{5}, - \frac{{38}}{5}} \right)$ .

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