Exercicios de Matematica 10 ANO - Função Quadrática - Exercício 1

Considere a função definida por $h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x$ .

Determine:

1. os zeros da função.

2. o vértice e o eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função.

3. dois objetos, distintos dos zeros, que tenham a mesma imagem.

4. os valores de tais que $h\left( x \right) > \frac{{16}}{9}$ .

Resolução do exercício de matemática:

$h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x - \frac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2x - \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = 0 \vee 2x = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3}$

$S = \left\{ {0,\frac{2}{3}} \right\}$

$h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x} \right) = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) =$

$= 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \times 2 = 2{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{2}{9}$

Coordenadas do vértice: $V\left( {\frac{1}{3}, - \frac{2}{9}} \right)$

Eixo de simetria: $x = \frac{1}{3}$

Os objetos pretendidos têm que estar à mesma distância do eixo de simetria.

Por exemplo:

$\frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3}$

$\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

Logo, $- \frac{5}{3}$ e $\frac{7}{3}$ são dois objetos que têm a mesma imagem.

$h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} > 0$

Cálculo auxiliar:

$2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm \sqrt {{{\left( { - \frac{4}{3}} \right)}^2} - 4 \times 2 \times \left( { - \frac{{16}}{9}} \right)} }}{{2 \times 2}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm 4}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{{16}}{3}}}{4} \vee x = \frac{{ - \frac{8}{3}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} \vee x = - \frac{2}{3}$