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Exercicios de Matematica 10 ANO - Função Quadrática - Exercício 1

Considere a função h definida por h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x.

Determine:

1. os zeros da função.

2. o vértice e o eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função.

3. dois objetos, distintos dos zeros, que tenham a mesma imagem.

4. os valores x de tais que h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} .

 

Resolução do exercício de matemática:

 

1.

 

h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x - \frac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2x - \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2x = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3}

 

S = \left\{ {0,\frac{2}{3}} \right\}

 

2.

 

h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x} \right) = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) =

 

 = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \times 2 = 2{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{2}{9}

 

Coordenadas do vértice:   V\left( {\frac{1}{3}, - \frac{2}{9}} \right)

 

Eixo de simetria:   x = \frac{1}{3}

 

3.

 

Os objetos pretendidos têm que estar à mesma distância do eixo de simetria.

Por exemplo:

 

\frac{1}{3} - 2 =  - \frac{5}{3}

 

\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}

 

Logo,  - \frac{5}{3} e   \frac{7}{3}  são dois objetos que têm a mesma imagem.

 

4.

 

h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} > 0

 

Cálculo auxiliar:

 

2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm \sqrt {{{\left( { - \frac{4}{3}} \right)}^2} - 4 \times 2 \times \left( { - \frac{{16}}{9}} \right)} }}{{2 \times 2}} \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm 4}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{{16}}{3}}}{4} \vee x = \frac{{ - \frac{8}{3}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} \vee x =  - \frac{2}{3}

 

Funções

 

S = \left] { - \infty , - \frac{2}{3}} \right[ \cup \left] {\frac{4}{3}, + \infty } \right[


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Quando se atira uma bola ao ar, com uma velocidadade inicial de 49 m/s, a altura em metros atingida pela bola ao fim de

t   segundos é dada pela expressãoh\left( t \right) = 49t - 4,9{t^2}.

 

1. Fará sentido considerar qualquer valor real para t ?

2. Determine a altura máxima atingida pela bola.

3. Indique o intervalo de tempo durante o qual a bola subiu.


Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Considere a função , de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}, definida por f\left( x \right) = \frac{{4x + 4}}{{x + 2}}.

1. Determine o conjunto solução da f\left( x \right) < 3.

2. Indique, justificando, as equações das assíntotas do gráfico de f.

3. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

A intensidade de um som relaciona-se com a amplitude da onda sonora.

Considera-se que o nível sonoro, N, medido em decibéis (dB), é função da intensidade sonora, I, medida em watt por metro quadrado (W/m²), de acordo com a igualdade

N = 120 + 10{\log _{10}}\left( I \right) para I > 0

 

2.1.   A legislação portuguesa estipula que, para veículos motorizados de duas rodas de de cilindrada, o nível sonoro

          desses veículos, quando em funcionamento, não deve exceder o limite máximo de 105 dB.

  Determine o valor da intensidade sonora, em W/m², que corresponde ao limite de 105 dB.

  Apresente o resultado arredondado às centésimas.

 

2.2.   O Rui fez um trabalho escolar em que relacionou a intensidade sonora com o nível sonoro.

  Nesse trabalho, incluiu uma tabela que continha, para diferentes tipos de fontes sonoras, as respetivas intensidades,

  em W/m², e os respetivos níveis sonoros em dB.

  Apresenta-se, a seguir, parte dessa tabela.

exame b g2 exercicio2 02

O texto seguinte é um excerto do trabalho elaborado pelo Rui.

«De acordo com o modelo que relaciona o nível sonoro com a intensidade sonora, podemos concluir que:

I) o nível sonoro de 0 decibéis, que marca o limiar inferior da audição humana, corresponde a uma intensidade de 0,000 000 000 01 W/m²;

II) ao compararmos o nível sonoro provocado pela sirene de um navio, cuja intensidade é cerca de 5 W/m², com os níveis sonoros mais elevados que constam da tabela, verificamos que esse nível sonoro está mais próximo do nível sonoro registado no concerto de música rock do que do nível sonoro registado no funcionamento do avião a jacto;

III) a intensidade sonora do avião a jacto em funcionamento é cerca de 600 vezes superior à intensidade sonora causada pelo tráfego rodoviário que circula numa via rápida.»

As conclusões I), II) e III) formuladas pelo Rui são todas incorretas.

Elabore uma pequena composição na qual, para cada uma das conclusões formuladas pelo Rui, apresente uma razão que fundamente a respetiva incorreção.

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Considere a função h definida por h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x.

Determine:

1. os zeros da função.

2. o vértice e o eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função.

3. dois objetos, distintos dos zeros, que tenham a mesma imagem.

4. os valores x de tais que h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} .

 

Ver Resolução do Exercício de Matemática ...

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.

2013-f2-g2-ex7

Sabe-se que:

2013-f2-g2-ex73


3.1.         Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de \alpha , por P\left(\alpha \right).

3.2.         Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa \frac{{5\pi }}{6}, sem utilizar a calculadora.  

 

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  • Observe o gráfico da função g.

 

1. Determine a expressão analítica da função g.

2. Escreva a expressão analítica da função g sem utilizar o símbolo de módulo.

 

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Considere num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio [- 1,2], definida por

2013-f2-g2-ex6

o ponto A de coordenadas \left( {2,0} \right) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f.

Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima.

Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

  • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
  • indicar o valor da área do triângulo [AOP] com arredondamento às centésimas.
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  • Resolva cada uma das seguintes condições:

 

1.  \left| {2x + 7} \right| = 5

 

3.  \left| {1 - x} \right| \ge 2

2.  \left| {1 - x} \right| = \left| {3x - 5} \right|

 

4.  - 2\left| {x + 3} \right| > - 8

 

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