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Exercicios de Matematica 12 ANO - Função exponencial e logarítmica - Exercício 1

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, e a função g, de domínio \left] {0, + \infty } \right[, definidas por:

f\left( x \right) = {e^{x - 2}} - \frac{{4{e^{ - x}} + 4}}{{{e^2}}} e g\left( x \right) = - \ln \left( x \right) + 4

1. Mostre que \ln \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) é o único zero da função f, recorrendo a métodos
exclusivamente analíticos.

2. Considere, num referencial o.n. xOy, os gráficos das funções f e g e o triângulo \left[ {OAB} \right].

Sabe-se que:

O é a origem do referencial;

A e B são pontos do gráfico de f;

• a abcissa do ponto A é o zero da função f;

• o ponto B é o ponto de interseção do gráfico da função f com o gráfico da função g.

Determine a área do triângulo \left[ {OAB} \right], recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• assinalar os pontos A e B;

• indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

Resolução do exercício de matemática:

1.

f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{x - 2}} - \frac{{4{e^{ - x}} + 4}}{{{e^2}}} = 0 \Leftrightarrow {e^{x - 2}} \times {e^2} - \left( {4{e^{ - x}} + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {e^x} - 4{e^{ - x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} - \frac{4}{{{e^x}}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^{2x}} - 4 - 4{e^x} = 0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow {e^{2x}} - 4{e^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 4} \right)} }}{{2 \times 1}} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm \sqrt {32} }}{2} \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{4 \pm 4\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \underbrace {{e^x} = 2 - 2\sqrt 2 }_{{\text{imposs\'i vel}}} \vee {e^x} = 2 + 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \ln \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)

 

2.

exame 2012 f1 g2 exercicio4

A abcissa do ponto A é 1,57.

B(3,22 ; 2,83)

{A_{\left[ {OAB} \right]}} = \frac{{1,57 \times 2,83}}{2} \approx 2,2

A área do triângulo é de 2,2 u.a. aproximadamente.