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Exercicios de Matematica 12 ANO - Derivadas - Exercício 3

Seja g uma função, de domínio {\mathbb{R}^ + }, cuja derivada, g', de domínio {\mathbb{R}^ + }, é dada por

g'\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)        

Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 

 

Resolução do exercício de matemática:


g''\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x}} = \frac{{{e^x} - 6{e^{ - x}} + 4}}{{{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x}}

 

{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x \ne 0,\forall x \in {\mathbb{R}^ + }

 

g''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 6{e^{ - x}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} - \frac{6}{{{e^x}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {e^{2x}} - 6 + 4{e^x} = 0 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {e^{2x}} + 4{e^x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 6} \right)} }}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {40} }}{2} \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm 2\sqrt {10} }}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {e^x} =  - 2 \pm \sqrt {10}  \Leftrightarrow {e^x} =  - 2 + \sqrt {10}  \vee {e^x} =  - 2 - \sqrt {10}  \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow x = \ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right) 

 

Nota:  a equação {e^x} =  - 2 - \sqrt {10} é impossível uma vez que  - 2 - \sqrt {10}  < 0.

 

2013-f2-g2-ex5

 

O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo no intervalo \left] {0,{\text{ }}\ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right)} \right] e voltada para cima em \left[ {\ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right),{\text{ }} + \infty } \right[.

 

O gráfico de f tem um ponto de inflexão de abcissa \ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right).