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Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 2

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}&{{\text{se}}}&{x > 0} \\ {x{e^{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 0} \end{array}} \right.

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

 

1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x = - 1.

Resolução do exercício de matemática:

1.

Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

Resolução:

m = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x{e^{1 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{e^{1 - x}}} \right) = {e^{1 - \left( { - \infty } \right)}} = {e^{ + \infty }} = + \infty


Logo, não existem assíntotas horizontais nem oblíquas quando x \to - \infty .

Vamos ver o que acontece quando x \to + \infty .

m = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( x \right) + 3} \right) =

 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} \right) + 3 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right) + 3 =

= \ln \left( 1 \right) + 3 = 0 + 3 = 3

 

b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right)} \right) =

 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\left( {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( x \right)} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right)

 

Mudança de variável: y = \frac{1}{x} ; quando x \to + \infty ,{\text{ }}y \to {0^ + }.

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \left( {\frac{1}{y}\ln \left( {1 + y} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \left( {\frac{{\ln \left( {1 + y} \right)}}{y}} \right) = 1

Logo, y = 3x + 1 é a equação da única assíntota não vertical do gráfico de f.

 

2.

Para x < 0, tem-se:

f'\left( x \right) = {\left( {x{e^{1 - x}}} \right)^\prime } = 1 \times {e^{1 - x}} + x \times \left( { - 1} \right) \times {e^{1 - x}} = {e^{1 - x}} - x{e^{1 - x}} = {e^{1 - x}}\left( {1 - x} \right)

m = f'\left( { - 1} \right) = {e^{1 - \left( { - 1} \right)}}\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right) = 2{e^2}

f\left( { - 1} \right) = - 1 \times {e^{1 - \left( { - 1} \right)}} = - {e^2}

coordenadas do ponto de tangência: \left( { - 1, - {e^2}} \right)

y = 2{e^2}x + b

Substituindo pelas coordenadas do ponto de tangência, vem:

 - {e^2} = 2{e^2}\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow - {e^2} + 2{e^2} = b \Leftrightarrow b = {e^2}

equação da reta tangente no ponto de abcissa -1: y = 2{e^2}x + {e^2}