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Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 3

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.

2013-f2-g2-ex7

Sabe-se que:

2013-f2-g2-ex73


3.1.         Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de \alpha , por P\left(\alpha \right).

3.2.         Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa \frac{{5\pi }}{6}, sem utilizar a calculadora.  

 

     

 Resolução do exercício de matemática:

3.1.

2013-f2-g2-ex72

           2013-f2-g2-ex74

 3.2.        O declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa \frac{{5\pi }}{6} é igual a P'\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right).

                P'\left(x\right) = {\left({-6\operatorname{tg} x-\frac{6}{{\cos x}}} \right)^\prime } =-6\times\frac{1}{{{{\cos}^2}x}} - \frac{{0-6\times\left( { - \operatorname{sen} x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} =

                  = \frac{{ - 6 - 6\operatorname{sen} x}}{{{{\cos }^2}x}}

                  P'\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)=\frac{{-6-6\operatorname{sen}\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)}{{{\cos}^2}\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)}}=\frac{{-6-6\times\frac{1}{2}}}{{{{\left({\frac{{\sqrt3}}{2}}\right)}^2}}}= \frac{{-9}}{{\frac{3}{4}}}=\frac{{-36}}{3}=-12

                  Logo, o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa \frac{{5\pi }}{6} é   igual a  - 12.