A Jalur é uma empresa que produz, artesanalmente, janelas de estilo antigo para o mercado de uma certa região. O gestor da Jalur sabe que a empresa consegue vender, nesse mercado, todas as janelas que produzir.

As janelas de estilo antigo produzidas pela Jalur são de dois tipos: Tipo I e Tipo II.
Sabe-se que:

- para produzir uma janela do Tipo I, são necessárias uma hora na secção de corte, três horas na secção de polimento e duas horas na secção de acabamentos;

- para produzir uma janela do Tipo II, são necessárias uma hora na secção de corte, duas horas na secção de polimento e uma hora na secção de acabamentos;

- as secções de produção da Jalur têm, semanalmente, a seguinte disponibilidade:

• secção de corte: 16 horas;
• secção de polimento: 36 horas;
• secção de acabamentos: 22 horas.

O lucro que a Jalur obtém ao vender uma janela do Tipo I é 30 euros, e o que obtém ao vender uma janela do Tipo II é 25 euros.
Designe por o número de janelas do Tipo I produzidas, semanalmente, pela Jalur, e designe por o número de janelas do Tipo II produzidas, semanalmente, pela Jalur.

1. É possível a Jalur produzir um total de 15 janelas de estilo antigo, numa semana?

Justifique a sua resposta.

2. Determine, quantas janelas do Tipo I e quantas janelas do Tipo II deve a Jalur produzir, semanalmente, para, nas condições referidas, obter lucro máximo.

Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• indicar a função objetivo;
• indicar as restrições do problema;
• representar, graficamente, a região admissível referente ao sistema de restrições;
• calcular o número de janelas do Tipo I e o número de janelas do Tipo II que a Jalur deve produzir, semanalmente, correspondentes à solução do problema.

Almada Negreiros, escritor e artista plástico, concebeu, no final da década de 1950, um conjunto de quadros de natureza abstracta, nos quais a Geometria e o Número são o tema central.

A Figura 3 apresenta uma fotografia de um desses quadros,
A Porta da Harmonia, um óleo sobre tela, pintado a preto e branco.
A Figura 4, que não está à escala, mostra uma composição geométrica representativa do quadro, constituída pelos quadrados [OPQR], [ABCD], [EFGH] e [IFJL] e posicionada no primeiro quadrante de um referencial ortogonal e monométrico .
Os lados [OP] e [OR] do quadrado [OPQR] estão contidos,
respetivamente, no semieixo positivo e no semieixo
positivo desse referencial.

Considere que:
• [ABCD] está inscrito em [OPQR]
• o ponto B tem coordenadas (14 , 6)
• o ponto A tem abcissa 6
• os vértices de [EFGH] são os pontos médios
dos lados de [ABCD]
• [IFJL] está contido em [ABCD]
• a razão de semelhança entre [EFGH] e [IFJL]
é
• o ponto M é o ponto de interseção de [EF]
com [IL]

1.  Mostre que .

2. Mostre que o comprimento do lado do quadrado [IFJL] é exatamente metade do comprimento do lado do quadrado [ABCD].

Sugestão – Na sua resposta, poderá começar por calcular o comprimento do lado do quadrado [EFGH] e utilizar a razão de semelhança entre os quadrados [EFGH] e [IFJL] para calcular o comprimento do lado do quadrado [IFJL].

3.  Admita que o quadrado [IFJL] pode rodar em torno do ponto F, de modo a tomar valores entre 0 e 5, e que, nesse movimento, o triângulo [IFM] se mantém não sombreado.

Considere .

Seja a função real de variável real definida por

com

Para cada valor de , a função permite obter a área da parte da composição representada a sombreado.

Existe algum valor de para o qual a área da parte da composição representada a sombreado corresponda a 40% da área do quadrado [OPQR]?

Justifique a sua resposta.

A intensidade de um som relaciona-se com a amplitude da onda sonora.

Considera-se que o nível sonoro, N, medido em decibéis (dB), é função da intensidade sonora, I, medida em watt por metro quadrado (W/m²), de acordo com a igualdade

para

1.  A legislação portuguesa estipula que, para veículos motorizados de duas rodas de de cilindrada, o nível sonoro desses veículos, quando em funcionamento, não deve exceder o limite máximo de 105 dB.

Determine o valor da intensidade sonora, em W/m², que corresponde ao limite de 105 dB.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

2. O Rui fez um trabalho escolar em que relacionou a intensidade sonora com o nível sonoro.

Nesse trabalho, incluiu uma tabela que continha, para diferentes tipos de fontes sonoras, as respetivas intensidades, em W/m², e os respetivos níveis sonoros em dB.

Apresenta-se, a seguir, parte dessa tabela.

O texto seguinte é um excerto do trabalho elaborado pelo Rui.

«De acordo com o modelo que relaciona o nível sonoro com a intensidade sonora, podemos concluir que:

I) o nível sonoro de 0 decibéis, que marca o limiar inferior da audição humana, corresponde a uma intensidade de 0,000 000 000 01 W/m²;

II) ao compararmos o nível sonoro provocado pela sirene de um navio, cuja intensidade é cerca de 5 W/m², com os níveis sonoros mais elevados que constam da tabela, verificamos que esse nível sonoro está mais próximo do nível sonoro registado no concerto de música rock do que do nível sonoro registado no funcionamento do avião a jacto;

III) a intensidade sonora do avião a jacto em funcionamento é cerca de 600 vezes superior à intensidade sonora causada pelo tráfego rodoviário que circula numa via rápida.»

As conclusões I), II) e III) formuladas pelo Rui são todas incorretas.

Elabore uma pequena composição na qual, para cada uma das conclusões formuladas pelo Rui, apresente uma razão que fundamente a respetiva incorreção.

A Figura 2 representa parte da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico com as previsões das alturas de maré, no porto de Leixões, para os sete primeiros dias do mês de julho de 2010.

Os valores das alturas estão em metros e o tempo é indicado em horas e minutos de cada dia.

Com base nos dados da tabela publicada pelo Instituto Hidrográfico, o Rui obteve, por regressão sinusoidal, a seguinte expressão, que relaciona a altura de maré, M, em metros, no porto de Leixões, com o tempo, t, em horas, contado a partir das zero horas do dia 1 de julho de 2010:

 para

O argumento da função seno está em radianos.

1. Descreva, com base na expressão obtida pelo Rui, a previsão da variação da altura de maré durante o primeiro dia de julho de 2010, indicando os instantes entre os quais a maré subiria e os instantes entre os quais a maré desceria.

Apresente os valores em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Em cálculos intermédios, utilize valores arredondados às centésimas.

2. Determine a diferença entre a altura de maré prevista pelo Instituto Hidrográfico para as 18 horas e 36 minutos do dia 2 de julho de 2010 e a altura de maré, para o mesmo instante, dada pela expressão obtida pelo Rui.

Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve pelo menos três casas decimais.

Na edição de 2010 da feira anual, a organização do jogo Roda da Fortuna limitou o número total de inscrições no jogo. Estipulou que, em cada dia de feira, haveria, no máximo, mais 8 inscrições do que no dia anterior.
No final da feira desse ano, a organização revelou que, no primeiro dia, houve 6 inscrições no jogo Roda da Fortuna e que, nos restantes dias, se esgotou o número de inscrições estipulado para cada um dos dias.

1.  Determine o número de inscrições feitas no décimo dia da feira anual de 2010.

2.  Admita que, nos dois últimos dias da feira anual de 2010, houve um total de 340 inscrições na Roda da Fortuna.

Determine o número de dias que durou a feira anual de 2010.

Um dos jogos mais populares da feira anual de Vila Nova de Malmequeres é a Roda da Fortuna.

Neste jogo, cada jogada consiste em girar, aleatoriamente, uma roda que está dividida em três setores circulares com áreas diferentes e numerados de acordo com o esquema da Figura 1.

1. Seja X a variável aleatória «número registado no setor indicado pelo ponteiro no instante em que a roda para, numa jogada».
A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

onde  representa um número real.

1.1.

Mostre que .

1.2.

Na Roda da Fortuna, um jogador terá lucro apenas se o valor total a receber em prémios nas jogadas que realizar for superior ao valor total pago pela inscrição efetuada.

O Ivo inscreveu-se para realizar duas jogadas e pagou 4 euros por essa inscrição.

Mostre que a probabilidade de o Ivo obter lucro, com a realização das duas jogadas, é 0,1417.