Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 4

Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efetuadas descargas de resíduos poluentes.

Uma associação ambientalista detetou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.

1. No início do ano de 1995, começaram a ser implementadas diversas medidas para diminuir a concentração da substância poluente e, assim, melhorar a qualidade da água desse lago.
Admita que a concentração da substância poluente, , em miligramas por metro cúbico de água, anos após o início do ano de 1995, é dada por

$C\left( t \right) = \frac{{600}}{{0,16{t^2} - 0,8t + 6}}$ para $t \geqslant 0$

1.1 Determine o ano em que a concentração da substância poluente existente na água do lago ficou reduzida a metade do seu valor inicial.

1.2 Existe um único instante em que a taxa de variação instantânea da função muda de sinal, passando de positiva a negativa. Interprete, no contexto do problema, o significado desse instante.

2. O número de trutas existentes no lago diminuiu acentuadamente em consequência das descargas de resíduos poluentes. Alguns anos depois de as descargas terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago com exemplares desta espécie.

Admita queo número de trutas existentes no lago, , em milhares, semanas após o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por

$N\left( x \right) = \frac{{20x + 2}}{{x + 2}}$ para $x \geqslant 0$

2.1 Mostre que, de acordo com o modelo apresentado, entre a segunda e a oitava semanas, se registou um aumento médio de 950 trutas, por semana.

2.2 O número de trutas existentes no lago, imediatamente antes de ocorrerem as descargas de resíduos poluentes, foi estimado em 22 000. Averigue se, de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para a população de trutas existentes no lago imediatamente antes de ocorrerem as referidas descargas. Justifique a sua resposta, usando propriedades da função .

3. Perto do lago, existe um sistema integrado de vários aquários. Em cada um dos aquários do sistema, vivem, em equilíbrio, diferentes espécies aquáticas.

A equipa de biólogos responsável pelo sistema tem como objetivo a preservação e o estudo dessas espécies, e utiliza o conceito de diversidade biológica.

Admita que a diversidade biológica, , de um ecossistema, no qual vivem espécies com igual número de efetivos, é dada por $D\left( n \right) = {\log _2}\left( n \right)$ , sendo um número inteiro positivo.

Num aquário, os biólogos pretendem colocar espécies diferentes com igual número de efetivos.

Determine, de acordo com as condições referidas, o número mínimo de espécies que é necessário colocar no aquário, de modo que a diversidade nesse aquário não seja inferior a 4,3.

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 3

O professor Alfredo leciona a disciplina de Matemática B na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabilidades».

1. Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na Figura 7.

exame 2011 2f g3 ex1

No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória , que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos de dado cúbico».

exame 2011 2f g3 ex2

O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela.
Apresente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória com os valores das probabilidades na forma de fração.

2. Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória , «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso».
A variável aleatória segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros.

Na Figura 8, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória .

Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou falsa.

exame 2011 2f g3 ex5

I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser

superior a 1,80 metros.

II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5.

III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória é 7 centímetros.

O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira.

Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou corretamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação.

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 2

exame 2011 2f g2 ex1

A Figura 5 representa uma gravura intitulada Divisão Regular de Superfície, de autoria de M. C. Escher.

A Figura 6 representa uma versão simplificada de parte do diagrama de suporte usado por Escher na elaboração da gravura, na qual se observam várias linhas de quadrados .

A partir de um segmento de reta $\left[ {AB} \right]$ , constroem-se dois quadrados geometricamente iguais, $\left[ {ACED} \right]$ e $\left[ {CBFE} \right]$ , obtendo-se a linha 1 de quadrados.

Repete-se o processo, sucessivamente, de modo a obter novas linhas de quadrados, como sugere a Figura 6.

Admita que:
• $\overline {AB} = 8{\text{ dm}}$
• a linha 1 é constituída por 2 quadrados com 4 dm de lado;
• a linha 2 é constituída por 4 quadrados com 2 dm de lado;
• de cada linha para a linha seguinte, o número de quadrados duplica e o comprimento do lado de cada quadrado diminui para metade.

Admita, também, que se podem obter tantas linhas de quadrados quantas se queira.

Considere a sucessão $\left( {{a_n}} \right)$ , cujo termo de ordem dá a área total, em dm2, dos quadrados que constituem a linha . Nesta sucessão, o primeiro termo, que corresponde à área total dos quadrados da linha 1, é 32 e o segundo termo, que corresponde à área total dos quadrados da linha 2, é 16.

1. Mostre que a área ocupada por todos os quadrados das primeiras 7 linhas é exatamente 63,5 dm2.

2. Sempre que se acrescenta uma nova linha de quadrados, a soma das áreas de todos os quadrados, incluindo os dessa linha, aumenta.

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 3

Na Figura 4 estão representados o octógono regular $\left[ {ABCDEFGH} \right]$ , com centro no ponto , os segmentos de reta $\left[ {FB} \right]$ e $\left[ {DH} \right]$ e as retas e .

exame 2011 2f g1 ex1d

1. Uma rotação é uma transformação geométrica que é caracterizada pelo seu centro e por uma amplitude do ângulo de rotação.

Caracterize uma rotação que transforme o ponto no ponto .

2. Considere o referencial ortogonal e monométrico, com origem no ponto , no qual os pontos e pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos das abcissas e das ordenadas, tendo o ponto coordenadas $\left( {\sqrt 2 ,0} \right)$ .

Determine as coordenadas do ponto simétrico de relativamente ao eixo das ordenadas.

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 2

exame 2011 2f g1 ex1

Durante séculos, os moínhos de vento serviram para moer trigo e obter a farinha com que se fabricava o pão.

A Figura 1 apresenta a fotografia de um moínho de vento, de tipo mediterrânico.

O moínho é posto a funcionar pela ação do vento, que faz rodar as suas velas, fixadas e esticadas num conjunto de 8 varas.

Admita que as varas têm todas o mesmo comprimento e que se unem no mesmo ponto.

As figuras 2 e 3 representam, esquematicamente, duas posições distintas das velas de um mesmo moínho.

O esquema representado em cada uma das figuras tem a forma de um octógono regular, e os pontos O e V assinalam as extremidades de uma das varas.

exame 2011 2f g1 ex1a

Admita que:

• num certo dia, as velas rodaram, no sentido indicado na Figura 3, durante um quarto de hora, com velocidade constante;

• no instante inicial, a vara representada por $\left[ {OV} \right]$ estava posicionada paralelamente ao solo, como sugere a Figura 2;

• a distância, , em metros, do ponto ao solo, segundos após as velas terem começado a rodar, é dada, durante o intervalo de tempo em que as velas rodaram, por

$d\left( t \right) = 6,5 + 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{9} - \frac{\pi }{2}} \right)$ para $t \in \left[ {0,900} \right]$

O argumento da função co-seno está em radianos.

2. No instante em que se iniciou o movimento, o ponto encontrava-se a uma determinada distância do solo.

Calcule quantas vezes, incluindo a desse instante, esteve o ponto a essa distância do solo, durante os quinze minutos em que as velas estiveram a rodar.

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 1