Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011

matematica b 735 2011 2 fase

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Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 4

 Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efetuadas descargas de resíduos poluentes.

Uma associação ambientalista detetou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.

1. No início do ano de 1995, começaram a ser implementadas diversas medidas para diminuir a concentração da substância poluente e, assim, melhorar a qualidade da água desse lago.
Admita que a concentração da substância poluente, , em miligramas por metro cúbico de água, anos após o início do ano de 1995, é dada por


C\left( t \right) = \frac{{600}}{{0,16{t^2} - 0,8t + 6}} para t \geqslant 0


1.1 Determine o ano em que a concentração da substância poluente existente na água do lago ficou reduzida a metade do seu valor inicial.

1.2 Existe um único instante em que a taxa de variação instantânea da função C muda de sinal, passando de positiva a negativa. Interprete, no contexto do problema, o significado desse instante.

 

2. O número de trutas existentes no lago diminuiu acentuadamente em consequência das descargas de resíduos poluentes. Alguns anos depois de as descargas terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago com exemplares desta espécie.

Admita queo número de trutas existentes no lago, N, em milhares, x semanas após o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por

N\left( x \right) = \frac{{20x + 2}}{{x + 2}} para x \geqslant 0

2.1 Mostre que, de acordo com o modelo apresentado, entre a segunda e a oitava semanas, se registou um aumento médio de 950 trutas, por semana.

2.2 O número de trutas existentes no lago, imediatamente antes de ocorrerem as descargas de resíduos poluentes, foi estimado em 22 000. Averigue se, de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para a população de trutas existentes no lago imediatamente antes de ocorrerem as referidas descargas. Justifique a sua resposta, usando propriedades da função N.

 

3. Perto do lago, existe um sistema integrado de vários aquários. Em cada um dos aquários do sistema, vivem, em equilíbrio, diferentes espécies aquáticas.

A equipa de biólogos responsável pelo sistema tem como objetivo a preservação e o estudo dessas espécies, e utiliza o conceito de diversidade biológica.

Admita que a diversidade biológica, D, de um ecossistema, no qual vivem n espécies com igual número de efetivos, é dada por D\left( n \right) = {\log _2}\left( n \right), sendo n um número inteiro positivo.

Num aquário, os biólogos pretendem colocar n espécies diferentes com igual número de efetivos.

Determine, de acordo com as condições referidas, o número mínimo de espécies que é necessário colocar no aquário, de modo que a diversidade nesse aquário não seja inferior a 4,3.

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 4

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 3

O professor Alfredo leciona a disciplina de Matemática B na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabilidades».

1. Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na Figura 7.

exame 2011 2f g3 ex1


No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos de dado cúbico».

exame 2011 2f g3 ex2

O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela.
Apresente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fração.

 

2. Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso».
A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros.


Na Figura 8, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X.

Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou falsa.

exame 2011 2f g3 ex5


I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser

superior a 1,80 metros.

II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5.

III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros.

O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira.


Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou corretamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação.

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 3

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 2

exame 2011 2f g2 ex1

 

A Figura 5 representa uma gravura intitulada Divisão Regular de Superfície, de autoria de M. C. Escher.

A Figura 6 representa uma versão simplificada de parte do diagrama de suporte usado por Escher na elaboração da gravura, na qual se observam várias linhas de quadrados .

A partir de um segmento de reta \left[ {AB} \right] , constroem-se dois quadrados geometricamente iguais, \left[ {ACED} \right] e \left[ {CBFE} \right], obtendo-se a linha 1 de quadrados.

Repete-se o processo, sucessivamente, de modo a obter novas linhas de quadrados, como sugere a Figura 6.

Admita que:
\overline {AB} = 8{\text{ dm}}
• a linha 1 é constituída por 2 quadrados com 4 dm de lado;
• a linha 2 é constituída por 4 quadrados com 2 dm de lado;
• de cada linha para a linha seguinte, o número de quadrados duplica e o comprimento do lado de cada quadrado diminui para metade.

Admita, também, que se podem obter tantas linhas de quadrados quantas se queira.

Considere a sucessão \left( {{a_n}} \right), cujo termo de ordem n dá a área total, em dm2, dos quadrados que constituem a linha n. Nesta sucessão, o primeiro termo, que corresponde à área total dos quadrados da linha 1, é 32 e o segundo termo, que corresponde à área total dos quadrados da linha 2, é 16.


1. Mostre que a área ocupada por todos os quadrados das primeiras 7 linhas é exatamente 63,5 dm2.

2. Sempre que se acrescenta uma nova linha de quadrados, a soma das áreas de todos os quadrados, incluindo os dessa linha, aumenta.

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 2

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 3

Na Figura 4 estão representados o octógono regular \left[ {ABCDEFGH} \right], com centro no ponto O, os segmentos de reta \left[ {FB} \right] e \left[ {DH} \right] e as retas EA e GC.

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1. Uma rotação é uma transformação geométrica que é caracterizada pelo seu  centro e por uma amplitude do ângulo de rotação.

Caracterize uma rotação que transforme o ponto B no ponto G.


 

2. Considere o referencial ortogonal e monométrico, com origem no ponto O, no qual os pontos A e C pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos das abcissas e das ordenadas, tendo o ponto A coordenadas \left( {\sqrt 2 ,0} \right).

Determine as coordenadas do ponto simétrico de B relativamente ao eixo das ordenadas.


Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 3

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 2

exame 2011 2f g1 ex1

 

Durante séculos, os moínhos de vento serviram para moer trigo e obter a farinha com que se fabricava o pão.

 

A Figura 1 apresenta a fotografia de um moínho de vento, de tipo mediterrânico.

 

O moínho é posto a funcionar pela ação do vento, que faz rodar as suas velas, fixadas e esticadas num conjunto de 8 varas.

 

Admita que as varas têm todas o mesmo comprimento e que se unem no mesmo ponto.

 

   

As figuras 2 e 3 representam, esquematicamente, duas posições distintas das velas de um mesmo moínho.

O esquema representado em cada uma das figuras tem a forma de um octógono regular, e os pontos O e V assinalam as extremidades de uma das varas.

  exame 2011 2f g1 ex1a

 

 Admita que:

• num certo dia, as velas rodaram, no sentido indicado na Figura 3, durante um quarto de hora, com velocidade constante;

• no instante inicial, a vara representada por \left[ {OV} \right] estava posicionada paralelamente ao solo, como sugere a Figura 2;

• a distância, d, em metros, do ponto V ao solo, t segundos após as velas terem começado a rodar, é dada, durante o intervalo de tempo em que as velas rodaram, por

d\left( t \right) = 6,5 + 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{9} - \frac{\pi }{2}} \right) para t \in \left[ {0,900} \right]

O argumento da função co-seno está em radianos.

 

2. No instante em que se iniciou o movimento, o ponto V encontrava-se a uma determinada distância do solo.

Calcule quantas vezes, incluindo a desse instante, esteve o ponto V a essa distância do solo, durante os quinze minutos em que as velas estiveram a rodar.

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 2

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 1

exame 2011 2f g1 ex1

 

Durante séculos, os moínhos de vento serviram para moer trigo e obter a farinha com que se fabricava o pão.

 

A Figura 1 apresenta a fotografia de um moínho de vento, de tipo mediterrânico.

 

O moínho é posto a funcionar pela ação do vento, que faz rodar as suas velas, fixadas e esticadas num conjunto de 8 varas.

 

Admita que as varas têm todas o mesmo comprimento e que se unem no mesmo ponto.

 

   

As figuras 2 e 3 representam, esquematicamente, duas posições distintas das velas de um mesmo moínho.

O esquema representado em cada uma das figuras tem a forma de um octógono regular, e os pontos O e V assinalam as extremidades de uma das varas.

  exame 2011 2f g1 ex1a

 

 Admita que:

• num certo dia, as velas rodaram, no sentido indicado na Figura 3, durante um quarto de hora, com velocidade constante;

• no instante inicial, a vara representada por \left[ {OV} \right] estava posicionada paralelamente ao solo, como sugere a Figura 2;

• a distância, d, em metros, do ponto V ao solo, t segundos após as velas terem começado a rodar, é dada, durante o intervalo de tempo em que as velas rodaram, por

d\left( t \right) = 6,5 + 6\cos \left( {\frac{{\pi t}}{9} - \frac{\pi }{2}} \right) para t \in \left[ {0,900} \right]

O argumento da função co-seno está em radianos.

 

1. Determine o comprimento de uma vara.

Sugestão:

Na sua resposta, poderá começar por apresentar o gráfico da função num intervalo
adequado, por exemplo , e assinalar os pontos relevantes para a resolução do
problema.

Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 1

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