Exame Nacional de Matemática B 2ª Fase 2011 - Grupo 4

 Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efetuadas descargas de resíduos poluentes.

Uma associação ambientalista detetou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.

1. No início do ano de 1995, começaram a ser implementadas diversas medidas para diminuir a concentração da substância poluente e, assim, melhorar a qualidade da água desse lago.
Admita que a concentração da substância poluente, , em miligramas por metro cúbico de água, anos após o início do ano de 1995, é dada por


C\left( t \right) = \frac{{600}}{{0,16{t^2} - 0,8t + 6}} para t \geqslant 0


1.1 Determine o ano em que a concentração da substância poluente existente na água do lago ficou reduzida a metade do seu valor inicial.

1.2 Existe um único instante em que a taxa de variação instantânea da função C muda de sinal, passando de positiva a negativa. Interprete, no contexto do problema, o significado desse instante.

 

2. O número de trutas existentes no lago diminuiu acentuadamente em consequência das descargas de resíduos poluentes. Alguns anos depois de as descargas terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago com exemplares desta espécie.

Admita queo número de trutas existentes no lago, N, em milhares, x semanas após o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por

N\left( x \right) = \frac{{20x + 2}}{{x + 2}} para x \geqslant 0

2.1 Mostre que, de acordo com o modelo apresentado, entre a segunda e a oitava semanas, se registou um aumento médio de 950 trutas, por semana.

2.2 O número de trutas existentes no lago, imediatamente antes de ocorrerem as descargas de resíduos poluentes, foi estimado em 22 000. Averigue se, de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para a população de trutas existentes no lago imediatamente antes de ocorrerem as referidas descargas. Justifique a sua resposta, usando propriedades da função N.

 

3. Perto do lago, existe um sistema integrado de vários aquários. Em cada um dos aquários do sistema, vivem, em equilíbrio, diferentes espécies aquáticas.

A equipa de biólogos responsável pelo sistema tem como objetivo a preservação e o estudo dessas espécies, e utiliza o conceito de diversidade biológica.

Admita que a diversidade biológica, D, de um ecossistema, no qual vivem n espécies com igual número de efetivos, é dada por D\left( n \right) = {\log _2}\left( n \right), sendo n um número inteiro positivo.

Num aquário, os biólogos pretendem colocar n espécies diferentes com igual número de efetivos.

Determine, de acordo com as condições referidas, o número mínimo de espécies que é necessário colocar no aquário, de modo que a diversidade nesse aquário não seja inferior a 4,3.

 

Resolução dos exercícios de matemática:

1.1

C\left( 0 \right) = \frac{{600}}{6} = 100

Pretende-se resolver a equação C\left( t \right) = 50.

exame 2011 2f g3 ex6

Logo, foi durante o 9º ano após 1995 que a concentração da substância poluente ficou reduzida a metade, isto é, durante o ano de 2004.

 

1.2

A alteração do sinal da taxa de variação de positiva para negativa, significa, no contexto do problema, que a concentração da substância poluente deixou de aumentar (taxa de variação positiva) e passou a diminuir (taxa de variação negativa). Ou seja, é o instante em que a concentração da substância poluente na água é máxima.

 

2.1

N\left( 8 \right) = \frac{{20 \times 8 + 2}}{{8 + 2}} = \frac{{162}}{{10}} = \frac{{81}}{5}


N\left( 2 \right) = \frac{{20 \times 2 + 2}}{{2 + 2}} = \frac{{42}}{4} = \frac{{21}}{2}


{\text{tv}}{{\text{m}}_{\left[ {2,8} \right]}} = \frac{{N\left( 8 \right) - N\left( 2 \right)}}{{8 - 2}} = \frac{{\frac{{81}}{5} - \frac{{21}}{2}}}{6} = \frac{{\frac{{57}}{{10}}}}{6} = \frac{{19}}{{20}} = 0,95

Entre a segunda e a oitava semanas, registou-se um aumento médio de 950 trutas por semana.

 

2.2

exame 2011 2f g3 ex7

A função N é uma função racional, cujo gráfico admite uma assíntota horizontal de equação y = 20.

Como a função é crescente no seu domínio, o valor da população de trutas será sempre inferior a 20 milhares de trutas.
Logo, o número trutas nunca será igual a 22 000.

 

3.

D\left( n \right) \geqslant 4,3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( n \right) \geqslant 4,3 \Leftrightarrow n \geqslant {2^{4,3}} \Leftrightarrow n \geqslant 19,698

Logo, o número mínimo de espécies que é necessário colocar no aquário é 20.