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Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 1

Considere a função g, de domínio \left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[, definida por g\left( x \right) = \operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x.

Seja a um número real do domínio de g.

A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = \frac{x}{2} + 1.

Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

   Resolução do exercício de matemática:

Como a reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = \frac{1}{2}x + 1, então o seu declive é igual a \frac{1}{2}.

Queremos determinar a tal que g'\left( a \right) = \frac{1}{2}.

g'\left( x \right) = {\left[ {\operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x} \right]^\prime } = 2\cos \left( {2x} \right) - \left( { - \operatorname{sen} x} \right) = 2\cos \left( {2x} \right) + \operatorname{sen} x

g'\left( a \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\cos \left( {2a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}a - {{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\operatorname{sen} }^2}a - {{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2{{\operatorname{sen} }^2}a} \right) + \operatorname{sen} a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  - 4{\operatorname{sen} ^2}a + \operatorname{sen} a + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \times \left( { - 4} \right) \times \frac{3}{2}} }}{{2 \times \left( { - 4} \right)}} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{{ - 1 \pm 5}}{{ - 8}} \Leftrightarrow \operatorname{sen} a = \frac{3}{4} \vee \operatorname{sen} a =  - \frac{1}{2}

Como a \in \left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[, \operatorname{sen} a < 0.

Logo, \operatorname{sen} a =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow a =  - \frac{\pi }{6}.