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Exercicios de Matematica 12 ANO - Derivadas - Exercício 2

Seja f uma função cuja derivada f',  de domínio \mathbb{R}, é dada por f'\left( x \right) = x - \operatorname{sen} \left( {2x} \right).


6.1.    Determine o valor de \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{2x - \pi }}.


6.2.    Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão em

          \left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right[, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

           Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima,

           o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baixo e, caso existam, as abcissas

           dos pontos de inflexão do gráfico da função f.


 

Resolução do exercício de matemática:


6.1.

\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{2x - \pi }} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{x - \frac{\pi }{2}}} = \frac{1}{2} \times f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =

 = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} - \operatorname{sen} \pi } \right) = \frac{\pi }{4}

6.2.


f''\left( x \right) = {\left( {x - \operatorname{sen} \left( {2x} \right)} \right)^\prime } = 1 - 2\cos \left( {2x} \right)


f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos \left( {2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \cos \left( {2x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi  \vee 2x =  - \frac{\pi }{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi  \vee x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}

Em \left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right[, x = \frac{\pi }{6} \vee x =  - \frac{\pi }{6}


2014-f1-g2-ex6

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em   \left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}} \right[ e em \left] {\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}} \right[ e tem a concavidade voltada para baixo em \left] { - \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right[; x =  - \frac{\pi }{6} e x = \frac{\pi }{6} são as abcissas dos pontos de inflexão.