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Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 3

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x{e^{3 + x}} + 2x}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 1}\\{\frac{{1 - \sqrt x  + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x > 1}\end{array}} \right.

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

 

3.1.  Averigue se a função f é contínua em x = 1.


3.2.  Mostre que o gráfico da função f admite uma assíntota oblíqua quando x tende para  - \infty .


 Resolução do exercício de matemática:

3.1.        f é contínua em x = 1 se e só se \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).

 

               \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x{e^{3 + x}} + 2x} \right) = {e^4} + 2

 

               \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x  + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = ?

 

               \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} =

                 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{2}


               \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = ?

 

               Mudança de variável: y = x - 1   (quando x \to {1^ + }, então y \to {0^ + })

 

               \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} y}}{{ - y}} =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} y}}{y} =  - 1

 

              Logo, \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x  + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} =

                = \frac{1}{2} - 1 =  - \frac{1}{2}

 

               Logo, f não é contínua em x = 1.

 

3.2.        m = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x{e^{3 + x}} + 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{x{e^{3 + x}}}}{x} + \frac{{2x}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{e^{3 + x}} + 2} \right) =

     = {e^{ - \infty }} + 2 = 0 + 2 = 2

 

    b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x{e^{3 + x}} + 2x - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x{e^{3 + x}}} \right)

 

               Mudança de variável: y =  - x   (quando x \to  - \infty , então y \to  + \infty )

 

               b = \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \left( { - y{e^{3 - y}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \left( { - y{e^3}{e^{ - y}}} \right) =  - {e^3}\mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \frac{y}{{{e^y}}} =  - {e^3}\mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \frac{1}{{\frac{{{e^y}}}{y}}} =

                =  - {e^3} \times \frac{1}{{ + \infty }} =  - {e^3} \times 0 = 0

 

               O gráfico de f admite uma assíntota oblíqua de equação y = 2x, quando x \to  - \infty .