Funções trigonométricas 11º Ano - Redução ao Primeiro Quadrante - Atividade 4

Funções trigonométricas 11º Ano

Redução ao Primeiro Quadrante

Observa a seguinte Figura:

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img01

Os triângulos $\left[ {OAD} \right]{\text{ e }}\left[ {OBF} \right]$ são congruentes (geometricamente iguais).

Podemos afirmar que:

$\begin{gathered} \operatorname{sen} (\pi - \alpha ) = \operatorname{sen} \alpha \hfill \\ \cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \hfill \\ \operatorname{tg} (\pi - \alpha ) = - \operatorname{tg} \alpha \hfill \\ \end{gathered}$

Consideremos agora um ângulo do tipo $\pi + \alpha$ :

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img02

Como os triângulos representados $\left[ {OAD} \right]{\text{ e }}\left[ {OEH} \right]$ também são congruentes (geometricamente iguais), temos:

$\begin{gathered} \operatorname{sen} (\pi + \alpha ) = - \operatorname{sen} \alpha \hfill \\ \cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \hfill \\ \operatorname{tg} (\pi + \alpha ) = \operatorname{tg} \alpha \hfill \\ \end{gathered}$

Existem importantes e úteis relações entre ângulos do tipo $\alpha {\text{ e }}\frac{\pi }{2} \pm \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

Considere a figura:

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img03

O pontos $A {\text{ e }} B$ são simétricos relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares (a abcissa de um é a ordenada do outro e vice-versa). Resulta:

$\begin{gathered} \operatorname{sen} (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \cos \alpha \hfill \\ \cos (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \operatorname{sen} \alpha \hfill \\ \end{gathered}$

Se trabalharmos com um ângulo do tipo $\frac{\pi}{2} + \alpha$ :

reducoes-ao-primeiro-quadrante-img04

podemos concluir que:

$\begin{gathered} \operatorname{sen} (\frac{\pi }{2} + \alpha ) = \cos \alpha \hfill \\ \cos (\frac{\pi }{2} + \alpha ) = - \operatorname{sen} \alpha \hfill \\ \end{gathered}$