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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 8

Na Figura 4, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que: 

  • o pontoA  está situado no primeiro quadrante;
  • o pontoB  está situado no quarto quadrante;
  • \left[ {AB} \right]  é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice 5 do complexo32\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right) ;
  • O arcoAB  está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a\overline {OA} .

 

 exame exercicio8 01

Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB   ?

 

(A) \frac{\pi }{5}

 

(B) \frac{{4\pi }}{5}

 

(C) \frac{{2\pi }}{5}

 

(D) \frac{{8\pi }}{5}

 

 

Resolução do Exercício:


A resposta correta é a (B).

 

Explicação:



Como A e B são os afixos de duas raízes consecutivas de índice 5, tem-se que a amplitude do ângulo AOB é igual a\frac{{2\pi }}{5}  .

 

\overline {OA}  = \sqrt[5]{{32}} = 2

 

A = \frac{{\frac{{2\pi }}{5} \times {2^2}}}{2} = \frac{{4\pi }}{5}