Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 6

Na Figura 5, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico da função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por $f\left( x \right) = 4\cos \left( {2x} \right)$ .

Sabe-se que:

• os vértices e do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ pertencem ao eixo

• o vértice do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ pertence ao eixo

• o vértice do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ tem abcissa $- \frac{\pi }{6}$

• os pontos $- \frac{\pi }{6}$ e pertencem ao gráfico de

• a reta á paralela ao eixo

exame g2 exercicio6 01

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Determine o valor exato da área do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ .

Seja a primeira derivada da função , e seja f'' a segunda derivada da função .

Mostre que , $f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) = - 4\left( {3\cos \left( {2x} \right) + 2\operatorname{sen} \left( {2x} \right)} \right)$ para qualquer número real .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 6

Na Figura 2, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função polinomial de grau 3, de domínio $\mathbb{R}$ .

exame exercicio6 01

Sabe-se que:

• -2, 2 e 5 são zeros de

• representa a função derivada de

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) $f'\left( 0 \right) \times f'\left( 6 \right) = 0$

(B) $f'\left( { - 3} \right) \times f'\left( 6 \right) < 0$

(C) $f'\left( { - 3} \right) \times f'\left( 0 \right) > 0$

(D) $f'\left( 0 \right) \times f'\left( 6 \right) < 0$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 5

Qual é o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{{x^2}}}{{\operatorname{sen} }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)$ ?

(A)

(B)

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{1}{2}$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 4

Seja uma função de domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} - 9}&{{\text{se}}}&{0 \leqslant x < 5} \\ {\frac{{1 - {e^x}}}{x}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 5} \end{array}} \right.$