Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 4

Seja uma função de domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} - 9}&{{\text{se}}}&{0 \leqslant x < 5} \\ {\frac{{1 - {e^x}}}{x}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 5} \end{array}} \right.$

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função ?

(A) $\left] {0,1} \right[$

(B) $\left] {1,4} \right[$

(C) $\left] {4,6} \right[$

(D) $\left] {6,7} \right[$

Resolução do Exercício:

A resposta correta é a (A).

Explicação:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {{2^x} - 9} \right) = {2^5} - 9 = 32 - 9 = 23$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \left( {\frac{{1 - {e^x}}}{x}} \right) = \frac{{1 - {e^5}}}{5}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)$

Logo, não existe $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right)$ .

Logo é descontínua no ponto de abcissa 5.

Logo, o intervalo escolhido não pode conter o 5.

$f\left( 1 \right) = {2^1} - 9 = - 7$

$f\left( 4 \right) = {2^4} - 9 = 7$

Como é contínua em $\left[ {1,4} \right]$ e $f\left( 1 \right) \times f\left( 4 \right) < 0$ , então pelo Teorema de Bolzano tem pelo menos um zero em $\left] {1,4} \right[$ .