Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 2

Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo $\left[ {ABCD} \right]$ . exame 2012 f1 g2 exercicio6

Sabe-se que:

• $\overline {BC} = 1$

• $\overline {CD} = 1$

• $\alpha$ é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC

• $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{2},\pi } \right[$

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Mostre que o perímetro do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ é dado, em função de $\alpha$ , por

$P\left( \alpha \right) = 3 + \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }}$ .

2. Para um certo número real $\theta$ , tem-se que $\operatorname{tg} \theta = - \sqrt 8$ , com $\frac{\pi }{2} < \theta < \pi$ .

Determine o valor exato de $P'\left( \theta \right)$ .

Comece por mostrar que $P'\left( \alpha \right) = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }}$ .

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Exercicios de Matematica 12 ANO - Função definida por ramos - Exercício 1

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

2. Seja a função, de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em $\left] {0,e} \right]$ .

3. Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x$ .

Sabe-se que:

A é o ponto de coordenadas $\left( {2,0} \right)$
B é o ponto de coordenadas $\left( {5,0} \right)$
P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função .

Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

Na sua resposta, deve:

equacionar o problema;
reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

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Exercicios de Matematica 12 ANO - Derivadas - Exercício 1

Na figura 2, está representada, num referencial ortogonal xOy , parte do gráfico de uma função polinomial , de grau 3.

exame-matA-fase1-2013-ex51

Sabe-se que:

-1 e 2 são os únicos zeros da função ;
a primeira derivada de uma certa função , tem domínio $\mathbb{R}$ e é definida por $g'\left( x \right) = f\left( x \right) \times {e^{ - x}}$ ;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0$ .

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função .

exame-matA-fase1-2013-ex52

Nota - Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabore uma composição na qual:

identifique a opção que pode representar a função ;
apresente as razões para rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

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Exercicios de Matematica 12 ANO - Funções trigonométricas - Exercício 1

Considere a função , de domínio $\left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[$ , definida por $g\left( x \right) = \operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x$ .