Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 6

Para $a{\text{ }}{\text{, }}b{\text{ e }}n$ , números reais positivos, considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$\large f\left( x \right) = a\cos \left( {nx} \right) + b\operatorname{sen} \left( {nx} \right)$

Seja f'' a segunda derivada da função.

Mostre que $f''\left( x \right) + {n^2}f\left( x \right) = 0$ , para qualquer número real .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função $\inline f$ , de domínio $\inline \left[ {0, + \infty } \right[$ , definida por

$\large f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{e^{2 - x}} - 1}}{{x - 2}}}&{{\text{se}}}&{0 \leqslant x < 2} \\ {\frac{{x + 1}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}}&{{\text{se}}}&{x \geqslant 2} \end{array}} \right.$

Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Estude quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

Mostre, sem resolver a equação, que $f\left( x \right) = - 3$ tem, pelo menos, uma solução em $\left] {0,\frac{1}{2}} \right[$ .

Estude quanto à monotonia em $\left] {2, + \infty } \right[$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$ , definida por

$f\left( x \right) = {e^{2x}} + \cos x - 2{x^2}$

Sabe-se que:

• é um ponto do gráfico de

• a reta de equação é paralela à reta tangente ao gráfico de no ponto

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto .

Na sua resposta, deve:

• equacionar o problema;

• reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar a abcissa do ponto com arredondamento às centésimas.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 3

Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago e o lago .
Às zero horas do dia 1 de março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.

${N_A}\left( t \right)$ é o número aproximado de nenúfares existentes no lago , dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo:

${N_A}\left( t \right) = \frac{{120}}{{1 + 7 \times {e^{ - 0,2t}}}}$ , com $t \geqslant 0$

${N_B}\left( t \right)$ é o número aproximado de nenúfares existentes no lago, dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo

${N_B}\left( t \right) = \frac{{150}}{{1 + 50 \times {e^{ - 0,4t}}}}$ , com $t \geqslant 0$

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Como foi referido, às zero horas do dia 1 de março de 2010, o lago recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou.

Determine de quanto foi esse aumento.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago .

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 2

A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.

Dos funcionários da MatFinance, sabe-se que:

60% são licenciados;
dos que são licenciados, 80% têm idade inferior a 40 anos;
dos que não são licenciados, 10% têm idade inferior a 40 anos.

Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Considere o problema seguinte.

«Foi pedido a 15 funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.

Desses 15 funcionários, 9 estão a favor do novo horário, 4 estão contra, e os restantes estão indecisos.

Escolhe-se, ao acaso, 3 funcionários de entre os 15 funcionários considerados.

De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os 3 funcionários, de forma que pelo menos 2 dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?»

Apresentam-se, em seguida, duas respostas.

Resposta I: ${}^{15}{C_3} - {}^6{C_3}$ Resposta II: $6 \times {}^9{C_2} + {}^9{C_3}$

Apenas uma das respostas está correta.

Elabore uma composição na qual:

identifique a resposta correta;
explique um raciocínio que conduza à resposta correta;
proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta;

explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

Considere ${z_1} = 1 + 2i$ e $w = \frac{{{z_1} \times {i^{4n + 3}} - b}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)}}$ , com $b \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$ .

Determine o valor de para o qual é um número real.

Seja um número complexo tal que $\left| z \right| = 1$ .

Mostre que ${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} = 4$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 8

Na Figura 4, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de

seis números complexos ${z_1}{\text{, }}{z_2}{\text{, }}{z_3}{\text{, }}{z_4}{\text{, }}{z_5}{\text{ e }}{z_6}$

exame 2011 f2 exercicio8

Qual é o número complexo que pode ser igual a $\left( {{z_2} + {z_4}} \right) \times i$ ?

(A) ${z_1}$

(B) ${z_3}$

(C) ${z_5}$

(D) ${z_6}$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 7

Na Figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:
• o ponto é a imagem geométrica do número complexo $- \sqrt 3 + i$
• o ponto tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence À circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a $\overline {OA}$

exame 2011 f2 exercicio7

Qual das condições seguintes define, em $\mathbb{C}$ , a região a sombreado, incluindo a fronteira?

(Considere como $\arg \left( z \right)$ a determinação que pertence ao intervalo $\left[ {0,2\pi } \right[$ )

(A) $\left| z \right| \leqslant 2{\text{ }} \wedge {\text{ }}\frac{{2\pi }}{3} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi$

(B) $\left| z \right| \leqslant 2{\text{ }} \wedge {\text{ }}\frac{{5\pi }}{6} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi$

(C) $\left| z \right| \leqslant 4{\text{ }} \wedge {\text{ }}\frac{{2\pi }}{3} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi$

(D) $\left| z \right| \leqslant 4{\text{ }} \wedge {\text{ }}\frac{{5\pi }}{6} \leqslant \arg \left( z \right) \leqslant \pi$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 6

Na Figura 2, está representado, num referencial o. n. xOy , o círculo trigonométrico.

exame 2011 f2 exercicio6

Sabe-se que:

• é o ponto de coordenadas $\left( {1,0} \right)$

• os pontos e pertencem ao eixo

• $\left[ {AB} \right]$ é um diâmetro do círculo trigonométrico

• as retas e são paralelas ao eixo

• $\theta$ é a amplitude do ângulo COA

• $\theta \in \left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na Figura 2?

(A) $2\left( {\cos \theta + \operatorname{sen} \theta } \right)$

(B) $\cos \theta + \operatorname{sen} \theta$

(C) $\cos \theta + \operatorname{sen} \theta$

(D) $1 + \cos \theta + \operatorname{sen} \theta$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 1 - Exercício 5

Para um certo número real positivo , a função definida em $\mathbb{R}$ por:

$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\operatorname{sen} x}}{{3x}}}&{{\text{se}}}&{x > 0} \\ {\ln \left( {k - x} \right)}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 0} \end{array}} \right.$