Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 6

Considere a função g, de domínio \left] { - \frac{\pi }{2},0} \right[, definida por g\left( x \right) = \operatorname{sen} \left( {2x} \right) - \cos x.

Seja a um número real do domínio de g.

A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = \frac{x}{2} + 1.

Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 6

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 5

Na figura 2, está representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3.

 

exame-matA-fase1-2013-ex51

Sabe-se que:

  • -1  e 2 são os únicos zeros da função f;
  • g' a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio \mathbb{R} e é definida por g'\left( x \right) = f\left( x \right) \times {e^{ - x}};
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {g\left( x \right) - 2} \right] = 0.

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g.

exame-matA-fase1-2013-ex52

 

Nota - Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabore uma composição na qual:

  • identifique a opção que pode representar a função g;
  • apresente as razões para rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

 

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 5

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função f, de domínio \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}, definida por:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^{4x}} - 1}}}&{{\text{se}}}&{x < 0}\\ {x\ln \left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x > 0} \end{array}} \right.

Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

1.   Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.


2.   Seja  g a função, de domínio {\mathbb{R}^ + }, definida por g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x.

      Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em \left] {0,e} \right].

 

3.   Resolva este item recorrendo à calculadora.

Considere num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, de domínio {\mathbb{R}^ + }, definida por g\left( x \right) = f\left( x \right) - x + {\ln ^2}x.

              Sabe-se que:

  • A  é o ponto de coordenadas \left( {2,0} \right)
  • B  é o ponto de coordenadas \left( {5,0} \right)
  • P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g.

   Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].

   Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.

               Na sua resposta, deve:

  • equacionar o problema;
  • reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
  • indicar as coordenadas dos pontos P com arredondamento às centésimas.
Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 2

Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato.

Todas as bolas estão numeradas com um único número natural.

Sabe-se que:

  • duas bolas em cada cinco são pretas;
  • 20\% das bolas pretas têm um número par;
  • 40\% das bolas brancas têm um número ímpar.

 

     1.   Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa.

               Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par.

     Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

 

2.  Admita agora que a caixa tem n bolas.

   Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.

  Determine n, sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a \frac{7}{{20}}.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 1

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere {z_1} = \sqrt 2 + 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4} e {z_2} = 1 + i.

1. Sabe-se que \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} é uma raiz quarta de um certo número complexo w.

     Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

 

2.   Seja {z_3} = \operatorname{cis} \alpha .

  Determine o valor de \alpha pertencente ao intervalo \left] { - 2\pi , - \pi } \right[, sabendo que {z_3} + \overline {{z_2}} é um número real.

 

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 1

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 6

 Considere, para um certo número real a superior a 1, as funções f e g, de domínio \mathbb{R}, definidas por f\left( x \right) = {a^x} e g\left( x \right) = {a^{ - x}}.

Considere as afirmações seguintes.

I)   Os gráficos das funções f e g não se intersectam.

II)  As funções f e g são monótonas crescentes.

III)   f'\left( { - 1} \right) - g'\left( 1 \right) = \frac{{2\ln a}}{a}.

Qual das opções seguintes é a correta?

(A)     I e III são verdadeiras.

(B)     I é falsa e III é verdadeira.

(C)      I é verdadeira e III é falsa.

(D)      II e III são falsas.

Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 6

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