Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 7

Considere a função , de domínio $\left] { - {e^2}, + \infty } \right[$ , definida $f\left( x \right) = - \ln \left( {x + {e^2}} \right)$ .

Na Figura 5, estão representados, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico da função e o triângulo [ABC].

2014-f1-g2-ex7

Sabe-se que:

o ponto A tem coordenadas (0, -2);
o ponto B pertence ao gráfico da função e tem abcissa negativa;
o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B;
a área do triângulo [ABC] é igual a 8.

Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

- escrever uma expressão da área do triângulo [ABC] em função da abcissa do ponto B;

- equacionar o problema;

- reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados;

- indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 6

Seja uma função cuja derivada , de domínio $\mathbb{R}$ , é dada por $f'\left( x \right) = x - \operatorname{sen} \left( {2x} \right)$ .

6.1. Determine o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}{{2x - \pi }}$ .

6.2. Estude o gráfico da função , quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão em

$\left] { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right[$ , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função tem concavidade voltada para cima,

o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo e, caso existam, as abcissas

dos pontos de inflexão do gráfico da função .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

2014-f1-g2-ex5

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

5.1. Averigue se a função é contínua em x = 4 .

5.2. O gráfico da função tem uma assíntota oblíqua quando tende para $+ \infty$ , de equação y = x + b , com $b \in \mathbb{R}$ .

Determine .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 4

Na Figura 4, está representado, num referencial o.n. Oxyz , o cubo [OABCDEFG], de aresta 3.

2014-f1-g2-ex4

Sabe-se que:

o ponto A pertence ao semieixo positivo
o ponto C pertence ao semieixo negativo
o ponto D pertence ao semieixo positivo
o ponto H tem coordenadas (3, -2, 3).

Seja $\alpha$ a amplitude, em radianos, do ângulo AHC.

Determine o valor exato de ${\operatorname{sen} ^2}\alpha$ , sem utilizar a calculadora.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 3

Na Figura 3, está representada uma planificação de um dado tetraédrico equilibrado, com as faces numeraddas com os números -1, 1, 2 e 3.

2014-f1-g2-ex3

Considere a experiência aleatória que consiste em lançar esse dado duas vezes consecutivas e registar, após cada lançamento, o número inscrito na face voltada para baixo.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

A: «o número registado no primeiro lançamento é negativo»

B: «o produto dos números registados nos dois lançamentos é positivo»

Elabore uma composição, na qual indique o valor de $P\left( {A|B} \right)$ , sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.

Na sua resposta, explique o significado de $P\left( {A|B} \right)$ no contexto da situação descrita, explique o número de casos possíveis, explique o número de casos favoráveis e apresente o valor de $P\left( {A|B} \right)$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 2

Uma caixa tem nove bolas distinguíveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela.

2.1. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e

ao acaso, três bolas.

Determine a probabilidade de as bolas retiradas não serem todas da mesma cor.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2.2. Considere a caixa com a sua composição inicial.

Considere agora a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa uma bola de

cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta.

Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caixa».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fração.

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.

1.1. Considere ${z_1} = \frac{{{{\left( { - 1 + \sqrt 3 {\text{ }}i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$ e ${z_2} = \operatorname{cis} \alpha$ , com $\alpha \in \left[ {0,\pi } \right[$ .

Determine os valores de $\alpha$ , de modo que ${z_1} \times {\left( {{z_2}} \right)^2}$ seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.

1.2. Seja z um número complexo tal que ${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} \leqslant 10$ .

Mostre que $\left| z \right| \leqslant 2$ .

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 1 - Exercício 8

Na Figura 2, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF].

2014-f1-g1-ex8

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número complexo z.

O vértice C tem coordenadas $\left( { - 2\sqrt 2 ,{\text{ }}2\sqrt 2 } \right)$ .

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E?

(A) $2\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{13}}{{12}}\pi } \right)$

(B) $4\operatorname{cis} \left( {\frac{{13}}{{12}}\pi } \right)$

(D) $4\operatorname{cis} \left( {\frac{{17}}{{12}}\pi } \right)$

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Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2014 - Grupo 1 - Exercício 7

Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy , uma circunferência de centro O e raio 1.

2014-f1-g1-ex7

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência;
o ponto A tem coordenadas (1 , 0);
os pontos B e C têm a mesma abcissa;
o ponto C tem ordenada zero;
o ponto D tem coordenadas (- 3 , 0);
$\alpha$ é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{2},\pi } \right[$ .