Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 1

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere ${z_1} = {\left( { - 2 + i} \right)^3}$ e ${z_2} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}}$ .

1. Resolva a equação ${z^3} + {z_1} = {z_2}$ , sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

2. Seja um número complexo não nulo.
Mostre que, se e $\frac{1}{w}$ são raízes de índice de um mesmo número complexo , então z = 1 ou z = - 1 .

Resolução do exercício de matemática:

${z^3} + {z_1} = {z_2} \Leftrightarrow {z^3} + {\left( { - 2 + i} \right)^3} = \frac{{1 + 28i}}{{2 + i}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} + {\left( { - 2} \right)^3} + 3 \times {\left( { - 2} \right)^2} \times i + 3 \times \left( { - 2} \right) \times {i^2} + {i^3} = \frac{{\left( {1 + 28i} \right) \times \left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right) \times \left( {2 - i} \right)}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 8 + 12i - 6 \times \left( { - 1} \right) - i = \frac{{2 - i + 56i - 28{i^2}}}{{{2^2} - {i^2}}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = \frac{{2 + 55i - 28 \times \left( { - 1} \right)}}{{4 + 1}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = \frac{{30 + 55i}}{5} \Leftrightarrow {z^3} - 2 + 11i = 6 + 11i \Leftrightarrow {z^3} = 8 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {z^3} = 8\operatorname{cis} 0 \Leftrightarrow z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \frac{{0 + 2k\pi }}{3},k \in \left\{ {0,1,2} \right\} \Leftrightarrow$