Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 6

Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo $\left[ {ABCD} \right]$ . exame 2012 f1 g2 exercicio6

Sabe-se que:

• $\overline {BC} = 1$

• $\overline {CD} = 1$

• $\alpha$ é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC

• $\alpha \in \left] {\frac{\pi }{2},\pi } \right[$

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Mostre que o perímetro do trapézio $\left[ {ABCD} \right]$ é dado, em função de $\alpha$ , por

$P\left( \alpha \right) = 3 + \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }}$ .

2. Para um certo número real $\theta$ , tem-se que $\operatorname{tg} \theta = - \sqrt 8$ , com $\frac{\pi }{2} < \theta < \pi$ .

Determine o valor exato de $P'\left( \theta \right)$ .

Comece por mostrar que $P'\left( \alpha \right) = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }}$ .

Resolução do exercício de matemática:

exame 2012 f1 g2 exercicio61

$\operatorname{tg} \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\overline {AE} }} \Leftrightarrow \overline {AE} = \frac{1}{{\operatorname{tg} \left( {\pi - \alpha } \right)}} \Leftrightarrow \overline {AE} = \frac{1}{{ - \operatorname{tg} \alpha }} \Leftrightarrow \overline {AE} = \frac{{ - 1}}{{\operatorname{tg} \alpha }}$

$\operatorname{sen} \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\overline {AD} }} \Leftrightarrow \overline {AD} = \frac{1}{{\operatorname{sen} \left( {\pi - \alpha } \right)}} \Leftrightarrow \overline {AD} = \frac{1}{{\operatorname{sen} \alpha }}$

$P\left( \alpha \right) = \frac{{ - 1}}{{\operatorname{tg} \alpha }} + 1 + 1 + 1 + \frac{1}{{\operatorname{sen} \alpha }} = - \frac{{\cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }} + 3 + \frac{1}{{\operatorname{sen} \alpha }} = 3 + \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }}$

$P'\left( \alpha \right) = {\left( {3 + \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\operatorname{sen} \alpha }}} \right)^\prime } = 0 + \frac{{{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)}^\prime } \times \operatorname{sen} \alpha - \left( {1 - \cos \alpha } \right) \times {{\left( {\operatorname{sen} \alpha } \right)}^\prime }}}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }} =$

$= \frac{{\operatorname{sen} \alpha \times \operatorname{sen} \alpha - \left( {1 - \cos \alpha } \right) \times \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }} = \frac{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha - \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }} =$

$= \frac{{\left( {{{\operatorname{sen} }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) - \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }}$

$1 + {\left( { - \sqrt 8 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} \Leftrightarrow 1 + 8 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 9 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} \Leftrightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

Como $\theta \in \left] {\frac{\pi }{2},\pi } \right[$ , vem que $\cos \theta = - \frac{1}{3}$ .

${\operatorname{sen} ^2}\theta + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\operatorname{sen} ^2}\theta + \frac{1}{9} = 1 \Leftrightarrow {\operatorname{sen} ^2}\theta = 1 - \frac{1}{9} \Leftrightarrow {\operatorname{sen} ^2}\theta = \frac{8}{9}$

$P'\left( \theta \right) = \frac{{1 - \cos \theta }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\theta }} = \frac{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}}{{\frac{8}{9}}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{\frac{8}{9}}} = \frac{{36}}{{24}} = \frac{3}{2}$