Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 1 - Exercício 5

5. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy ,

exame 2012 f1 exercicio5 parte do gráfico de uma função , de domínio $\left[ {a, + \infty } \right[$ ,

com $a < - \frac{1}{3}$ .

Para esse valor de , a função , contínua em $\mathbb{R}$ ,

é definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_3}\left( { - x - \frac{1}{3}} \right)}&{{\text{se}}}&{x < a} \\ {g\left( x \right)}&{{\text{se}}}&{x \geqslant a} \end{array}} \right.$ .

Qual é o valor de ?

(A) $- \frac{{28}}{3}$

(B) $- \frac{{25}}{3}$

(D) $- \frac{8}{3}$

Resolução do exercício de matemática:

Solução: (A)

é contínua em $\left] { - \infty ,a} \right[$ e em $\left] {a, + \infty } \right[$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {{{\log }_3}\left( { - x - \frac{1}{3}} \right)} \right] = {\log _3}\left( { - a - \frac{1}{3}} \right)$

é contínua para x = a se: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = 2$

$f\left( a \right) = g\left( a \right) = 2$

${\log _3}\left( { - a - \frac{1}{3}} \right) = 2 \Leftrightarrow {3^2} = - a - \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = - 9 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = - \frac{{28}}{3}$