Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2012 - Grupo 2 - Exercício 5

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}&{{\text{se}}}&{x > 0} \\ {x{e^{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 0} \end{array}} \right.$

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1. Estude a função quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x = - 1 .

Resolução do exercício de matemática:

Estude a função quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

Resolução:

$m = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x{e^{1 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{e^{1 - x}}} \right) = {e^{1 - \left( { - \infty } \right)}} = {e^{ + \infty }} = + \infty$

Logo, não existem assíntotas horizontais nem oblíquas quando $x \to - \infty$ .

Vamos ver o que acontece quando $x \to + \infty$ .

$m = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( x \right) + 3} \right) =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} \right) + 3 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right) + 3 =$

$= \ln \left( 1 \right) + 3 = 0 + 3 = 3$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right) + 3x - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {x + 1} \right) - x\ln \left( x \right)} \right) =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\left( {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( x \right)} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right)$

Mudança de variável: $y = \frac{1}{x}$ ; quando $x \to + \infty ,{\text{ }}y \to {0^ + }$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \left( {\frac{1}{y}\ln \left( {1 + y} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \left( {\frac{{\ln \left( {1 + y} \right)}}{y}} \right) = 1$

Logo, y = 3x + 1 é a equação da única assíntota não vertical do gráfico de .

Para x < 0 , tem-se:

$f'\left( x \right) = {\left( {x{e^{1 - x}}} \right)^\prime } = 1 \times {e^{1 - x}} + x \times \left( { - 1} \right) \times {e^{1 - x}} = {e^{1 - x}} - x{e^{1 - x}} = {e^{1 - x}}\left( {1 - x} \right)$