Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 2

Na Figura 3, está representado um dado cúbico, não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 3, em que faces opostas têm o mesmo número.

2013-f2-g2-ex2

Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face que fica voltada para cima.

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

A: «sair número ímpar»

B: «sair número menor que 3»

Sabe-se que:

$P\left( {\overline A \cup \overline B } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9}$
$P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{7}$

Determine a probabilidade de sair o número 3.

Resolução do exercício de matemática:

$\overline B$ : «sair número menor que 3»

$P\left( {\overline A \cup \overline B } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow P\left( {\overline {A \cap B} } \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 1 - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow 1 - 2P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{9} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{5}{9} = 2P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow \frac{4}{9} = 2P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{9} = P\left( {A \cap B} \right)$

$P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{{\frac{2}{9}}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{{\frac{2}{9}}}{{\frac{2}{7}}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{{14}}{{18}} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{7}{9}$

$A = \left\{ {1,3} \right\}$ ; $B = \left\{ {1,2} \right\}$ ; $A \cap B = \left\{ 1 \right\}$ ; $\overline B = \left\{ 3 \right\}$

Como os acontecimentos $A \cap B$ e $\overline B$ são incompatíveis, tem-se que:

$P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) \Leftrightarrow$