Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 7

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy , o triângulo [OAB] e a reta .

2013-f2-g2-ex7

Sabe-se que:

2013-f2-g2-ex73

7.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de $\alpha$ , por $P\left(\alpha \right)$ .

7.2. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa $\frac{{5\pi }}{6}$ , sem utilizar a calculadora.

Resolução do exercício de matemática:

7.1.

2013-f2-g2-ex74

7.2. O declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa $\frac{{5\pi }}{6}$ é igual a $P'\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)$ .

$P'\left(x\right) = {\left({-6\operatorname{tg} x-\frac{6}{{\cos x}}} \right)^\prime } =-6\times\frac{1}{{{{\cos}^2}x}} - \frac{{0-6\times\left( { - \operatorname{sen} x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} =$

$= \frac{{ - 6 - 6\operatorname{sen} x}}{{{{\cos }^2}x}}$

$P'\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)=\frac{{-6-6\operatorname{sen}\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)}{{{\cos}^2}\left({\frac{{5\pi}}{6}}\right)}}=\frac{{-6-6\times\frac{1}{2}}}{{{{\left({\frac{{\sqrt3}}{2}}\right)}^2}}}= \frac{{-9}}{{\frac{3}{4}}}=\frac{{-36}}{3}=-12$