Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 2

Considere a linha do triângulo de Pascal em que o produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento é 484.

Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um elemento dessa linha que seja superior a 1000?

(A) $\frac{{15}}{{23}}$

(B) $\frac{6}{{11}}$

(D) $\frac{8}{{11}}$

Solução: (C)

O segundo elemento de qualquer linha do triângulo de Pascal é igual ao penúltimo e é igual a n.

Tem-se que:

${n^2} = 484 \Rightarrow n = 22$

Esta linha do triângulo de Pascal é constituída pelos elementos do tipo ${}^{22}{C_k}$ (com $0 \leqslant k \leqslant 22$ ).

Logo, a linha tem 23 elementos.

${}^{22}{C_0} = {}^{22}{C_{22}} = 1$

${}^{22}{C_1} = {}^{22}{C_{21}} = 22$

${}^{22}{C_2} = {}^{22}{C_{20}} = 231$

${}^{22}{C_3} = {}^{22}{C_{19}} = 1540 > 1000$

Logo, existem 6 números inferiores a 1000 nesta linha do triângulo de Pascal.

Logo, existem 23 – 6 = 17 números superiores a 1000 nesta linha do triângulo de Pascal.

Logo, a probabilidade pedida é $\frac{{17}}{{23}}$ .

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