Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 5

Seja uma função, de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , cuja derivada, , de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ , é dada por

$g'\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)$

Estude a função quanto ao sentido das concavidades do gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Resolução do exercício de matemática:

$g''\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x}} = \frac{{{e^x} - 6{e^{ - x}} + 4}}{{{e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x}}$

${e^x} + 6{e^{ - x}} + 4x \ne 0,\forall x \in {\mathbb{R}^ + }$

$g''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 6{e^{ - x}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {e^x} - \frac{6}{{{e^x}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {e^{2x}} - 6 + 4{e^x} = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^{2x}} + 4{e^x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 6} \right)} }}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {40} }}{2} \Leftrightarrow {e^x} = \frac{{ - 4 \pm 2\sqrt {10} }}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {e^x} = - 2 \pm \sqrt {10} \Leftrightarrow {e^x} = - 2 + \sqrt {10} \vee {e^x} = - 2 - \sqrt {10} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = \ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right)$

Nota: a equação ${e^x} = - 2 - \sqrt {10}$ é impossível uma vez que $- 2 - \sqrt {10} < 0$ .

2013-f2-g2-ex5

O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo no intervalo $\left] {0,{\text{ }}\ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right)} \right]$ e voltada para cima em $\left[ {\ln \left( { - 2 + \sqrt {10} } \right),{\text{ }} + \infty } \right[$ .