Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 1

Em $\mathbb{C}$ , conjunto dos números complexos, considere

${z_1} = 1$ , ${z_2} = 5i$ e ${z_3} = \operatorname{cis} \left( {\frac{{n\pi }}{{40}}} \right),{\text{ }}n \in \mathbb{N}$

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

O complexo ${z_1}$ é raiz do polinómio ${z^3} - {z^2} + 16z - 16$ .

Determine, em $\mathbb{C}$ , as restantes raízes do polinómio.

Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.

Determine o menor valor de natural para o qual a imagem geométrica de ${z_2} \times {z_3}$ , no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Resolução do Exercício:

Utizando a regra de Ruffini para dividir ${z^3} - {z^2} + 16z - 16$ por z - 1 , tem-se:

exame g2 exercicio1 01

Logo: ${z^3} - {z^2} + 16z - 16 = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 16} \right)$

${z^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - 16 \Leftrightarrow z = \pm 4i$

Logo, as raízes do polinómio na forma trigonométrica são:

$1 = 1\operatorname{cis} 0$ ; $- 4i = 4\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)$ e $4i = 4\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)$

${z_2} = 5i = 5\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)$

${z_2} \times {z_3} = 5\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right) \times \operatorname{cis} \left( {\frac{{n\pi }}{{40}}} \right) = 5\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{n\pi }}{{40}}} \right)$

Como a imagem geométrica de ${z_2} \times {z_3}$ , no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares tem-se que ter:

$\arg \left( {{z_2} \times {z_3}} \right) = \frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Isto é,

$\frac{\pi }{2} + \frac{{n\pi }}{{40}} = \frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{n\pi }}{{40}} = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$