Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2011 - Grupo 2 - Exercício 1

Seja $\mathbb{C}$ o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

Considere ${z_1} = 1 + 2i$ e $w = \frac{{{z_1} \times {i^{4n + 3}} - b}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)}}$ , com $b \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$ .

Determine o valor de para o qual é um número real.

Seja um número complexo tal que $\left| z \right| = 1$ .

Mostre que ${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} = 4$ .

Resolução do Exercício

$w = \frac{{\left( {1 + 2i} \right) \times {i^{4n + 3}} - b}}{{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)}} = \frac{{\left( {1 + 2i} \right) \times {i^3} - b}}{{\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}} =$

$= \frac{{\left( {1 + 2i} \right) \times \left( { - i} \right) - b}}{{ - 1 - i}} = \frac{{ - i - 2{i^2} - b}}{{ - 1 - i}}=$

$= \frac{{ - i - 2\left( { - 1} \right) - b}}{{ - 1 - i}} = \frac{{ - i + 2 - b}}{{ - 1 - i}} = \frac{{\left( { - i + 2 - b} \right)\left( { - 1 + i} \right)}}{{\left( { - 1 - i} \right)\left( { - 1 + i} \right)}} =$

$= \frac{{i - 2 + b - {i^2} + 2i - bi}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{i - 2 + b - \left( { - 1} \right) + 2i - bi}}{{1 - \left( { - 1} \right)}} =$

$= \frac{{i - 2 + b + 1 + 2i - bi}}{2} = \frac{{ - 1 + b + 3i - bi}}{2}=$

$= \frac{{ - 1 + b}}{2} + \frac{{3 - b}}{2}i$

Para ser um número real, tem que se verificar:

$\frac{{3 - b}}{2} = 0 \Leftrightarrow 3 - b = 0 \Leftrightarrow b = 3$

Seja z = a + bi , com $a,b \in \mathbb{R}$ .

$\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$

${\left| {1 + z} \right|^2} + {\left| {1 - z} \right|^2} = {\left| {1 + a + bi} \right|^2} + {\left| {1 - a - bi} \right|^2} =$

$= {\left( {\sqrt {{{\left( {1 + a} \right)}^2} + {b^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} } \right)^2}=$