Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 1

1.1. Considere ${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}}$ e ${z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}}$ .

Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que ${\left( {{z_2}} \right)^n}$ é um número real negativo.

1.2. Seja $\alpha \in \left[ { - \pi ,\pi } \right[$ .

Mostre que $\frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right)$ .

Resolução do exercício de matemática:

1.1.

${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^{22}} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} + {i^2} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} - 1 = \frac{{1 + \sqrt 3 i - 2}}{2} =$

$= - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$

$\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 1 = 1$

$\operatorname{tg} \theta = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} \wedge \theta \in 2Q \Leftrightarrow \operatorname{tg} \theta = - \sqrt 3 \wedge \theta \in 2Q \Rightarrow \theta = \frac{{2\pi }}{3}$

${z_1} = 1\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

${z_2} = \frac{{ - 2}}{{i{z_1}}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right) \times \operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{2\operatorname{cis} \pi }}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)}} =$

$= 2\operatorname{cis} \left( {\pi - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = 2\operatorname{cis} \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

${\left( {{z_2}} \right)^n} = {2^n}\operatorname{cis} \left( { - \frac{{\pi n}}{6}} \right)$

${\left( {{z_2}} \right)^n}$ é um número real negativo se:

$- \frac{{\pi n}}{6} = \pi + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \pi n = - 6\pi - 12k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow n = - 6 - 12k,k \in \mathbb{Z}$

Para k = - 1 , obtemos n = 6 .

Logo, n = 6 .

1.2.

$\frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\operatorname{sen} \left( \alpha \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} =$

$= \frac{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + i\operatorname{sen} \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \alpha + i\operatorname{sen} \alpha }} = \frac{{\operatorname{cis} \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\operatorname{cis} \alpha }} = \operatorname{cis} \left( {\pi - \alpha - \alpha } \right) = \operatorname{cis} \left( {\pi - 2\alpha } \right)$