Exame Nacional de Matemática 12º Ano 2ª Fase 2013 - Grupo 2 - Exercício 4

Considere a função , de domínio $\mathbb{R}$ , definida por:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x{e^{3 + x}} + 2x}&{{\text{se}}}&{x \leqslant 1}\\{\frac{{1 - \sqrt x + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}}}&{{\text{se}}}&{x > 1}\end{array}} \right.$

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

4.1. Averigue se a função é contínua em x = 1 .

4.2. Mostre que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua quando tende para $- \infty$ .

Resolução do exercício de matemática:

4.1. é contínua em x = 1 se e só se $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x{e^{3 + x}} + 2x} \right) = {e^4} + 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = ?$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = ?$

Mudança de variável: y = x - 1 (quando $x \to {1^ + }$ , então $y \to {0^ + }$ )

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} y}}{{ - y}} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} y}}{y} = - 1$

Logo, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x + \operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {x - 1} \right)}}{{1 - x}} =$

$= \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$

Logo, não é contínua em x = 1 .

4.2. $m = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x{e^{3 + x}} + 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{x{e^{3 + x}}}}{x} + \frac{{2x}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{e^{3 + x}} + 2} \right) =$

$= {e^{ - \infty }} + 2 = 0 + 2 = 2$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x{e^{3 + x}} + 2x - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x{e^{3 + x}}} \right)$

Mudança de variável: y = - x (quando $x \to - \infty$ , então $y \to + \infty$ )

$b = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( { - y{e^{3 - y}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( { - y{e^3}{e^{ - y}}} \right) = - {e^3}\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{y}{{{e^y}}} = - {e^3}\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \frac{1}{{\frac{{{e^y}}}{y}}} =$