Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 2

A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é a seguinte:

exame12-2013-fase1-ex2

Sabe-se que:

e são números reais;
$P\left( {X > 1} \right) = P\left( {X < 2} \right)$ .

Qual é o valor médio da variável aleatória ?

(A) $\frac{3}{2}$

(B) $\frac{7}{5}$

(D) $\frac{{19}}{{12}}$

Solução: (D)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2a + b + b = 1} \\ {b + b = a + 2a} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3a + 2b = 1} \\ {2b = 3a} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3a + 3a = 1} \\ {2b = 3a} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6a = 1} \\ {2b = 3a} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \frac{1}{6}} \\ {2b = 3 \times \frac{1}{6}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \frac{1}{6}} \\ {2b = \frac{3}{6}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \frac{1}{6}} \\ {2b = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \frac{1}{6}} \\ {b = \frac{1}{4}} \end{array}} \right.$

$\mu = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{2}{6} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{6} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{4}{{12}} + \frac{{15}}{{12}} = \frac{{19}}{{12}}$