Exame Nacional de Matemática 12º Ano 1ª Fase 2013 - Grupo 1 - Exercício 5

Seja uma função de domínio ${\mathbb{R}^ + }$ .

Sabe-se que $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x + f\left( x \right)}}{{3x}} = 1$ .

Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função ?

(A) $y = \frac{1}{3}x$

(B) $y = \frac{2}{3}x$

(D) y = 3x

Solução: (D)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x + f\left( x \right)}}{{3x}} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{{3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{3x}} = 1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{x} + \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \times 0 + \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 3$